Esta unidad comprende los fundamentos teóricos y matemáticos para el análisis y la clasificación de señales y sistemas. Se definen los conceptos de señales, teniendo en cuenta sus propiedades como señales periódicas, pares e impares, reflexión y los conceptos necesarios para entender el análisis de señales en tiempo continuo y tiempo discreto, los cuales son visibles en una amplia gama de modelos y aplicaciones. También, se realizan diferentes ejemplos, de autoría propia como y tomados del libro Procesamiento de señales analógicas y digitales (Ambardar, 2002).

Al final de la unidad, se realizan ejemplos de apoyo, con el fin de graficar señales utilizando MATLAB, una herramienta informática de gran utilidad para modelos, simulación y desarrollo matemático, utilizado ampliamente en ingeniería.

Propósito general

Entender el concepto de señal, analizando algunas diferencias y similitudes existentes en tiempo continuo y tiempo discreto, mediante la definición, clasificación y propiedades necesarias para el planteamiento de diferentes aplicaciones.

Propósitos específicos

• Analizar la representación de señales en tiempo continuo y en tiempo discreto.
• Abordar las diferentes propiedades para el desarrollo matemático en el análisis de señales continuas y discretas.
• Caracterizar y realizar operaciones sobre las señales analógicas y digitales desarrollando ejercicios de análisis usando los conceptos trabajados.

Le invitamos a ver el siguiente video, donde se exponen algunas de las características de las señales continuas y sus diferencias con respecto a las señales discretas.

Las señales representan información. Estamos rodeados de señales, algunas naturales y otras producidas por el hombre. Con frecuencia, estas señales están cargadas de perturbaciones o ruidos; en este contexto, el procesamiento de señales toma relevancia para resaltar, extraer, almacenar o transmitir información útil.

Las señales que describen la variación de una función continua a través del tiempo se definen como señales analógicas, mientras que las señales que describen variación de una función discreta a través del tiempo se definen como señales discretas.

En la figura se muestran dos señales, una representada en tiempo continuo y definida como señal análoga y la otra representada en tiempo discreto, definida como señal digital. La señal análoga varía de manera continua, expresando todo su dominio con base al conjunto de los números reales a lo largo de un tiempo dado en segundos. Las señales digitales pueden ser expresadas en tiempo discreto, lo cual hace que su dominio se encuentre especificado solo para valores finitos del tiempo o dentro del conjunto de los números enteros.

Una señal analógica puede ser descrita mediante una expresión matemática o gráficamente mediante una curva, incluso por un conjunto de valores tabulados. Desafortunadamente, estas señales no son fáciles de describir cuantitativamente, por lo cual deben aproximarse utilizando modelos.

Acceda aquí a más información sobre las señales análogas o continuas.

Cualquier señal puede ser expresada como la suma de su parte simétrica par x_e (t) y su parte simétrica impar x_o (t).

Es decir, x (t) = x_e (t) + x_o (t)

Donde la simetría par es definida como x_e (t) = x_e (- t) y la simetría impar es definida como x_o (t) = - x_o (- t), obteniendo:

x_e (t) = 0.5x (t) + 0.5x (-t) y x_o (t) = 0.5x (t) - 0.5x (-t)

Si una señal tiene simetría par, su parte simétrica impar será igual a cero y viceversa.

Le invitamos a revisar estos ejemplos sobre partes par e impar de las señales continuas.

Para determinar la energía y la potencia de una señal es necesario hablar del área absoluta de la señal. El área absoluta de una señal brinda información útil sobre su tamaño. Una señal x (t) es absolutamente integrable si posee área absoluta finita. Esta se expresa evaluando el valor absoluto de la señal de menos infinito hasta infinito, como se muestra en la siguiente ecuación.

Todas las funciones limitadas en tiempo de amplitud finita, tiene área absolutamente finita.

El área de x² (t) está relacionada con la potencia o energía entregada a una resistencia de 1Ω. Esto significa que la potencia instantánea p (t) entregada a un resistor de 1Ω se puede expresar como:

p (t) = x² (t), donde x (t) puede representar tanto el voltaje como la corriente circulante.

La energía total E entregada a un resistor de 1Ω recibe el nombre de energía de la señal y se calcula así:

Le invitamos a revisar este ejemplo relacionado con determinar la señal de energía de distintas señales.

El valor absoluto o norma permite que esta ecuación sea usada indiscriminadamente con valores reales puros o complejos. La potencia de la señal P es igual al promedio en el tiempo de la energía de la señal para todo el tiempo. Si x (t) es periódica con periodo T, la potencia de la señal es la energía promedio por periodo así:

Si las señales del ejemplo 3 se definieran en un periodo específico T, este factor relaciona directamente la potencia con los datos obtenidos por medio de la energía encontrada.

Potencia de señales senoides

La potencia de una combinación de señales sinusoidales se define:

p>Si y (t) = x₁ (t) + x₂ (t) + x₃ (t) ... ... ... ..

Entonces P_y(t) = Px₁ (t) + Px₂ (t) + Px₃ (t) ... ... ... ..

Y su valor medio cuadrático estará dado por $\sqrt{{{P}_{y\left( t \right)}}}$

Le invitamos a revisar un ejemplo de este tema.

Estas señales pueden surgir naturalmente o como consecuencia de un proceso de muestreo de una señal continua, generalmente en intervalos iguales de tiempo. Una señal muestreada o discreta x[n] es una sucesión ordenada de valores, que corresponde al índice entero que contiene la historia de la señal en el tiempo.

Por ejemplo, la notación x\left[ n \right]=\left\{ 1,2,3,\overset{}{\mathop{4}}\,,5,6,7,8... \right\} expresa la forma de relacionar los términos de una función en tiempo discreto. Esta función muestra el conjunto de términos enteros y el apuntador en el número cuatro determina el valor encontrado en n=0, siendo la referencia para representar la expression en el domino de la función discreta.

La figura 10 muestra la gráfica determinada para la función x\left[ n \right]=\left\{ 1,2,3,\overset{}{\mathop{4}}\,,5,6,7,8... \right\}.

Una señal discreta es periódica si se repite cada N muestras y se describe así: x [n] = x [n + k N] con k =0, 1, 2, 3… N es el número más pequeño de muestras que se repiten. El periodo N es siempre un entero. En combinaciones, N es el mínimo común múltiplo de los periodos individuales.

Cualquier señal discreta puede ser representada como la suma de los impulsos desplazados δ [n - k] , correspondientes en amplitud y posición a la señal x [n].

Si tenemos la función discreta definida como

Esta función también puede expresarse como

x[n] = 2δ [n + 2]+3δ [n + 1] + 4δ [n] - 3 δ [n - 1] - 2δ [n - 2]

Le invitamos a revisar este ejemplo relacionado con describir matemáticamente señales a partir de una figura.

Las simetrías par e impar son excluyentes entre sí y la suma de ellas da como resultado una señal sin simetría.

x[n] = x_o [n] + x_e [n]

Para encontrar x_o [n] y x_e [n] se refleja la señal y se obtiene:

x [- n] = x_o [- n] + x_e [-n]

Considerando las propiedades de la simetría:

x [- n] = x_o [n] - x_e [n]

Sumando y restando las ecuaciones de la señal y su reflejo se obtiene:

x_e [n] = 0,5x[n] + 0,5x[ - n] y x_o [n] = 0,5x[n] - 0,5x[ - n]

Le invitamos a revisar estos ejemplos relacionados con las partes par e impar de las señales discretas.

Las medidas de las señales discretas se dan en sumatorias regularmente. La sumatoria es equivalente en tiempo discreto a la integración en continuo.

La energía de una señal se calcula \underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{\left| x\left[ n \right] \right|}^{2}}, debe ser no periódica para ser de energía.

El valor promedio se calcula {{x}_{pro}}=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathop \sum }}\,x\left[ n \right], este valor es importante puesto que la señal contiene energía infinita.

La potencia de la señal es P=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathop \sum }}\,{{\left| x\left[ n \right] \right|}^{2}} debe ser una señal periódica para ser de potencia.

Le invitamos a revisar un ejemplo relacionado con el cálculo de energía y potencia.

Las señales pueden cambiar de acuerdo con la manipulación o modelo de diferentes sistemas. Por medio de sus coeficientes se determinan parámetros de amplitud; sumando o restando términos, se puede modificar su fase o desplazamiento y por medio del producto es posible modificar los parámetros de frecuencia o tiempo.

En este capítulo se analizarán diferentes variaciones de las señales continuas y discretas, las cuales se graficarán paso a paso teniendo en cuenta sus propiedades, con el fin de obtener una aproximación real de su comportamiento.

La representación de diferentes modelos para estas señales se puede determinar apoyándose en herramientas informáticas que faciliten el desarrollo gráfico para su correspondiente análisis. Al finalizar el capítulo se realizara un ejemplo como ayuda fundamental para graficar señales apoyados en MATLAB.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con la graficación e interpretación de señales.

Las operaciones sobre las señales continuas más empleadas son escalamiento de amplitud, desplazamiento de amplitud, desplazamiento de tiempo, escalamiento de tiempo y reflexión.

Es importante anotar que el desplazamiento o la reflexión de una señal no cambian su área o energía; sin embargo, el escalamiento de tiempo sí lo hace.

Le invitamos a revisar un ejemplo relacionado con la representación gráfica de funciones.

Las operaciones más comunes sobre las señales discretas son el desplazamiento y la reflexión; sin embargo, esto no excluye la suma y la multiplicación de señales.

Le invitamos a revisar un ejemplo relacionado con la representación gráfica de funciones discretas.

Los criterios de diezmación e interpolación son de gran importancia en el análisis de señales debido las posibles combinaciones de señales continuas y discretas que pueden existir en aplicaciones digitales de muestreo y de comunicaciones. El retraso fraccionario de una señal requiere interpolación, desplazamiento y diezmación.

Aplicaciones en MATLAB

Como apoyo para esta unidad, se desarrollan una serie de ejercicios utilizando una herramienta informática que permita fortalecer los conceptos vistos. Para el desarrollo se debe tener en cuenta el material recomendado y los enlaces que se generan de la ayuda por defecto en MATLAB. Se utiliza el programa MATLAB y OCTAVE ONLINE, los cuales permite simular los códigos de línea y comandos al igual que lo hace el entorno de command window de MATLAB.

Le invitamos a revisar estos ejemplos sobre aplicaciones en MATLAB.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con emparejamiento de señales.

Material de apoyo

En esta unidad se muestran los conceptos fundamentales de las señales, teniendo en cuenta el análisis que se debe realizar en tiempo continuo y en tiempo discreto.

Se analizan los parámetros de simetría, energía, potencia de señales continúas obteniendo las ecuaciones:

Simetría par e impar {{x}_{e}}\left( t \right)=0.5x\left( t \right)+0.5x\left( -t \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ } y \left( t \right)=0.5x\left( t \right)-0.5x\left( -t \right)

Energía E=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{\left| \text{x}\left( t \right) \right|}^{2}}dt

Potencia P=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\mathop \int }}\,{{\left| x\left( t \right) \right|}^{2}}dt

Se analizan los parámetros de simetría, energía, potencia de señales discretas obteniendo las ecuaciones:

Simetría par e impar {{x}_{e}}\left[ n \right]=0,5x\left[ n \right]+0,5x\left[ -n \right] y {{x}_{o}}\left[ n \right]=0,5x\left[ n \right]-0,5x\left[ -n \right]

Energía E=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,{{\left| x\left[ n \right] \right|}^{2}}

Potencia P=\frac{1}{N}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathop \sum }}\,{{\left| x\left[ n \right] \right|}^{2}}

Para aplicar las propiedades, se deben tener en cuenta el domino de las señales que se analicen y, de esta manera, aplicar traslaciones y reflexiones para evaluar su comportamiento.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con interpretación de señales.