Introducción

En esta unidad se trabajarán aplicaciones de los modelos de programación lineal para solucionar problemas inherentes a la administración de operaciones, enfatizando en ejercicios aplicados a la ingeniería informática.

El modelo de transporte es una aplicación especial de la programación lineal que consiste en la distribución de bienes o servicios, a partir de nodos de suministro, hacia varios destinos.

Propósitos de aprendizaje

Propósito general

Modelar algunos problemas de investigación de operaciones como transporte, transbordo y asignación, empleados en la distribución de bienes y servicios a partir de nodos de suministro hacia ciertos destinos.

Propósitos específicos

  • Optimizar una red de asignación de recursos a unos destinos con un costo mínimo a partir de un modelo de programación lineal.
  • Desarrollar criterios de asignación de tareas, máquinas, contratos, licitantes y proyectos en general, en diversos contextos de la administración.
  • Resolver problemas de transporte, transbordo y asignación mediante el uso de herramientas informáticas como Solver y QSB.

Modelo generalizado de transporte

Si se tienen «i» orígenes y «j» destinos en los cuales hay que satisfacer una demanda determinada, teniendo en cuenta la disponibilidad en los orígenes y minimizando su costo, se tendrá un esquema como el que aparece en pantalla.

Los elementos de este modelo son:

xi,j= cantidad de unidades enviadas del origen i al destino j

ci,j= contribución a la función objetivo al distribuir una unidad del origen i al destino j

si= número de unidades disponibles en el origen i

dj= número de unidades demandadas en el destino j

Y la función objetivo a optimizar sujeta a las restricciones es:

Minimizar:~\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{c}_{i,~j}}*{{x}_{i,~j}}\to funci\acute{o}n~objetivo

Sujeta a:

\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}\le {{s}_{i}}~~~~~i=1,~2,~\ldots ,~m~~~~~restricciones~de~oferta

\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}={{d}_{j}}~~~~~j=1,~2,~\ldots ,~n~~~~~restricciones~de~demanda

Consulte la ampliación temática para ver un ejemplo de aplicación de este modelo.

Modelo de transporte no equilibrado

En el apartado anterior se consideró el modelo de transporte equilibrado con ofertas y demandas equivalentes. Sin embargo, en los problemas en los que no existe igualdad entre la oferta y la demanda es posible crear un punto, o nodo artificial, considerando dos casos: uno en el que las ofertas sean mayores que las demandas y otro en el que las demandas sean mayores que las ofertas. En ambos casos se le asigna costo cero a este arco o ruta.

En las imágenes que aparecen en pantalla se explican los dos casos y en la siguiente interactividad se plantean dos ejemplos de aplicación. Haga clic sobre el enlace para acceder al contenido.


Material
de apoyo

Modelo de transbordo

El objetivo de este modelo es minimizar los costos de transporte desde plantas de producción (nodos de oferta) hasta los nodos de destino, satisfaciendo la demanda de estos últimos, mediante la incorporación de nodos de transbordo (bodegas). El modelo funciona de la siguiente manera:

xi, j = número de unidades enviadas del nodo i al nodo j

Minimizar:~\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{c}_{i,~j}}*{{x}_{i,~j}}\to funci\acute{o}n~objetivo

Sujeto a:

\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}\le {{s}_{i}}~~~~~i=1,~2,~\ldots ,~m~~~~~nodos~de~origen

\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{x}_{j,~i}}=0~~~~~j=1,~2,~\ldots ,~n~~~~~nodos~de~transbordo

\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}={{d}_{j}}~~~~~j=1,~2,~\ldots ,~n~~~~~nodos~de~destino

Donde:

ci, j= costo por unidad enviada del nodo i al nodo j

si= oferta del nodo i

dj= demanda del nodo j


Material
de apoyo

Problema de asignación

El problema de asignación es una derivación del modelo de transporte que consiste en trabajar en la toma de decisiones para ventas, licitaciones, asignación de tareas a los trabajadores y en muchos otros contextos de la investigación de operaciones. En este caso la función objetivo a optimizar sujeta a las restricciones es:

{{x}_{i,j}}\left\{ _{0=\text{ en otro caso}}^{1=\text{ si al agente }i\text{ se le asigna la tarea }j} \right\}

Minimizar:~\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{c}_{i,~j}}*{{x}_{i,~j}}\to funci\acute{o}n~objetivo

Sujeto a:

\underset{j=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}\le 1~~~~~i=1,~2,~\ldots ,~m~~~~~agentes

\underset{i=1}{\overset{m}{\mathop \sum }}\,{{x}_{i,~j}}=1~~~~~j=1,~2,~\ldots ,~n~~~~~tareas

Donde:

ci, j= costo de asignar el agente i a la tarea j


Actividad de aprendizaje

Actividad de Aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad que le permitirá reforzar algunos de los conceptos vistos en esta unidad.

Resumen

El modelo o problema de transporte, también llamado problema de distribución, es un algoritmo de redes en programación lineal que se fundamenta en el requisito de llevar productos desde nodos de salida (fuente u origen) hacia otros nodos de llegada (demanda o destinos) satisfaciendo la oferta y la demanda, y minimizando los costos relacionados.

Según las rutas que lo optimicen, el problema puede ser equilibrado o no equilibrado. Cuando se presenta esta situación es posible agregar nodos artificiales a la red de oferta o demanda.

Del modelo de transporte se deriva el modelo de transbordo, que consiste en agregar nodos que reciben desde los nodos de salida y redistribuyen hacia los nodos de llegada en el centro de la red de ofertas y demandas.

Finalmente, del problema de transporte se deriva el modelo de asignación, que consiste en la distribución de agentes a tareas específicas. Este es un problema de programación lineal binaria.

Bibliografía ()

  • Hillier, F., y Liberman, G. (2002). Investigación de operaciones. México: McGraw-Hill.
  • Larson, R., y Edwars, B. (2002). Introducción al álgebra lineal. México: Limusa.
  • Soler, F., Molina, F., y Rojas, L. (2007). Álgebra y programación lineal. Bogotá, Colombia: Ecoe.

Referencias Web