Cuando se ha matematizado un problema de investigación de operaciones mediante la formulación de una función objetivo con dos variables sujetas a múltiples restricciones surge un nuevo objetivo que es solucionarlo de manera gráfica para tomar la mejor decisión sobre el manejo adecuado de los recursos disponibles.

Matematizar un problema de investigación de operaciones permite establecer unos objetivos de producción partiendo de unas restricciones de producción.

Propósito general

Definir el concepto de sistema, su clasificación (estático, dinámico, discreto, continuo, abierto, cerrado, determinístico o probabilististico) y fundamentar la utilización de modelos para la solución de problemas en la investigación de operaciones.

Propósitos específicos

• Identificar los sistemas y modelos en la investigación de operaciones.

• Tener claridad acerca de la definición del problema, recolección de datos, formulación y solución del modelo aplicando programación lineal.

• Optimizar la función objetivo en un problema con dos variables y «n» restricciones por el método gráfico.

Un sistema se refiere a la forma como un conjunto de elementos llevan a cabo una función interactuando entre sí con un objetivo determinado. Algunos ejemplos son: sistema universitario, sistema de transporte, sistema informático, sistema numérico, etc.

Un sistema se compone por tres tipos de elementos: una entrada; unos elementos, que deben estar relacionados de alguna manera, y una salida.

Los elementos del sistema son las unidades básicas que tienen una función e interactúan con los demás elementos del sistema, aunque esta definición también aplica para los subsistemas.

Finalmente, cabe anotar que el comportamiento particular de los elementos no explica el comportamiento de todo el sistema.

De acuerdo con Hillier y Liberman (2002), la clasificación de un sistema es un proceso relativo, pues depende de la persona que lo hace, del objetivo que se pretende y de las circunstancias en las que se desarrolla.

En este sentido los autores establecen la siguiente clasificación:

• Según su interacción con el medioambiente.
• Según su naturaleza.
• Según su origen.
• Según sus relaciones.
• Según su cambio en el tiempo.
• Según el tipo de variable que lo define.

Haga clic sobre el esquema interactivo para acceder a una actividad de aprendizaje que le permitirá poner en práctica los conocimientos adquiridos sobre la clasificación de los sistemas.

Un modelo «es una representación o abstracción de una situación u objeto real, que muestra las relaciones (directas o indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto» (Hillier y Liberman, 2002).

Tipos de modelos

• Modelo icónico. Es el que hace un representación física mediante mapas o maquetas.

• Modelo analógico. Es aquel que valida hipótesis o aproximaciones a un modelo conceptual mediante una representación material. Por ejemplo, una maqueta que representa la tectónica de placas.

• Modelo simbólico o matemático. Es el que representa una realidad mediante relaciones y funciones matemáticas que involucran variables independientes y dependientes. Por ejemplo, el modelo lineal de la demanda en función del precio.

Son aquellos modelos en los que para unas variables de entrada (variables independientes) se producirán invariablemente los mismos resultados en las variables de salida (variables de respuesta). Algunos de estos modelos son:

• Modelo lineal. Es una relación entre variables exógenas o de respuesta y endógenas o independientes que tienen carácter lineal; es decir que la potencia a la que están elevadas ambas es uno.

• Redes. Son modelos cuyo objetivo consiste en optimizar una función objetivo de acuerdo a unas restricciones que son actividades esquematizadas mediante rutas.

• Programación lineal. Es una técnica matemática que permite optimizar una función objetivo con diversas restricciones en sus variables.

• Programación dinámica. Es una técnica matemática para la solución de problemas en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial.

• Programación heurística. Es un conjunto de técnicas, métodos o algoritmos que se usan para resolver un problema.

• Programación no lineal. Es un proceso para la solución de sistemas de igualdades y desigualdades en el que las variables que intervienen son no lineales.

Son un concepto matemático que caracteriza las variables independientes de origen aleatorio (probabilístico) asignándole un valor real a cada elemento del espacio muestral y la función que da respuesta al experimento es una función de distribución de probabilidad. Algunos de estos modelos son:

• Simulación. Son modelos en los que se involucran variables de entrada de origen aleatorio para comprobar una hipótesis que modela una situación real y aprender cómo se comportaría el sistema.

• Teoría de juegos. Es una área de las matemáticas que estudia las interacciones de estructuras con base en incentivos.

• Procesos de Markov. Se conocen también como cadena de Markov, puesto que involucra en un proceso estocástico discreto el principio según el cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior.

• Arboles de decisión. Es la representación de eventos de forma gráfica y analítica para tomar decisiones desde el punto de vista probabilístico ante un abanico de posibilidades.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad que le permitirá poner en práctica los conceptos estudiados hasta este punto.

De acuerdo con Taha (2004), la investigación de operaciones es una técnica que se aplica en situaciones problémicas en las que están involucrados procesos de conducción y coordinación de operaciones (o actividades) de una organización. La naturaleza de una organización no es física y de hecho esta técnica se ha empleado para áreas como manufactura, transporte, construcción, telecomunicaciones, planeación financiera, cuidado de la salud, inteligencia militar, servicios públicos e informática. En esta última área se emplea en aspectos de coordinación de operaciones del sistema que se analice, por medio de modelos que involucren las interacciones entre los componentes del sistema.

Puntualiza el autor que en lo referente a la investigación, esta técnica se nutre del método científico para investigar los problemas que requieran solución, es decir que el proceso comienza con la observación y formulación del problema tomando los datos de cada variable asociada, posteriormente se construye el modelo matemático para abstraer el problema real y proponer una hipótesis de tal forma que las soluciones del modelo se puedan validar en el problema real.

Material de apoyo

Desde la década de 1950 esta herramienta matemática ha ahorrado millones de dólares a muchas compañías y a países industrializados. De acuerdo con Soler, Molina y Rojas (2007), una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal.

Puntualiza el autor que la programación lineal utiliza funciones lineales como función objetivo y sistemas de desigualdades lineales como restricciones.

Es importante tener en cuenta que en este campo, el termino «programación» no se refiere a la programación de computadores, sino a la planeación. Así las cosas, la programación lineal es la planeación de actividades para obtener un resultado óptimo, por medio de los métodos gráfico y simplex.

La metodología para resolver este tipo de problemas se puede sintetizar de la siguiente manera:

• Se determinan las incógnitas del experimento.
• Se escriben las restricciones en forma de desigualdades generando un sistema de inecuaciones.
• Una vez determinada el área factible se calculan las coordenadas de los vértices del conjunto de soluciones factibles.

Si se considera una función objetivo —se dé maximización o minimización en dos variables— sujeta a restricciones que generan una región factible, el valor máximo o mínimo de la función objetivo estará en uno de los vértices del polígono acotado o no acotado.

Ejercicios de aplicación

Haga clic sobre el enlace para acceder a una interactividad en la que se desarrollan cuatro ejercicios de programación lineal con dos variables.

La programación lineal corresponde a un algoritmo mediante el cual se resuelven situaciones reales en situaciones en las que se identifican recursos limitados y se busca aumentar la productividad en base a estos recursos.

De acuerdo con Wikipedia (2018), el objetivo fundamental de la programación lineal «es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal».