En el desarrollo de la unidad 1 trabajamos con las Ecuaciones Diferenciales de primer orden, sus características y algunos de los métodos convencionales para calcular su solución. Este estudio nos ha permitido avanzar en la comprensión de las ecuaciones diferenciales y su naturaleza.

Ahora es momento de abordar sus aplicaciones y cómo éstas permiten el análisis de situaciones físicas, sociales y químicas, así como posibles soluciones matemáticas.

Propósito General

Estudiar algunas situaciones en la ingeniería que requieren el uso de ecuaciones diferenciales para su análisis y presentar casos problemáticos en los que se utilizan los métodos estudiados para solucionar las ecuaciones de primer orden que aparecen inmersas.

Propósitos Específicos

• Estudiar algunos problemas de la ingeniería que requieran el uso de ecuaciones diferenciales de primer orden para su solución.
• Identificar situaciones en las que las ecuaciones diferenciales de primer orden no solucionan directamente el problema propuesto pero que permiten describir una solución aproximada.

Para iniciar con este estudio definamos: Trayectorias Ortogonales:

Dada una familia de curvas monoparamétricas de la forma G(x,y,C) = 0, se dice que H(x,y,K) = 0 otra familia de curvas monoparemétricas es el conjunto de curvas ortogonales si las tangentes de la familia H(x,y,K) = 0 cortan a las curvas y son ortogonales, es decir, que las dos familias son perpendiculares. Veamos el siguiente ejemplo.

Como aplicación de dicho método estudiaremos la siguiente situación.

Continuando con otras situaciones que se modelan a partir de Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden, vamos a trabajar los problemas relacionados con:

• Crecimiento / decrecimiento de una substancia.
• Ley de enfriamiento de Newton.
• Mezclas.
• Circuitos eléctricos simples.

Material de apoyo

Si bien los modelos lineales forman un parte importante de la modelación con las ecuaciones diferenciales de primer orden, cabe resaltar que existen otros modelos igual de interesantes cuyo modelo no corresponde a la foma lineal, a este tipo de modelos los denominamos modelos No Lineales y, de manera particular, trabajaremos con la ecuación Logistica y la ley de Torricelli.

En el modelo de crecimiento/decrecimiento de una substancia o población pudimos observar que el crecimiento o decrecimiento en el tiempo puede darse sin algún control del entorno. Para remediar esto, vamos a suponer que existe un valor máximo de población sostenible A en el entorno, así la ecuación dada por

donde M (t) es la cantidad de población en el tiempo t y k es una constante positiva, permite medir la razón de cambio de la población en el tiempo asumiendo el parametro impuesto por el entorno. Por ejemplo, puede observarse que si M(t) es proxima a A, entonces tenemos dos situaciones:

• Si M(t) < A, entonces la ecuación muestra que existe un crecimiento pequeño en la población, en tanto
• Si M(t) > A, entonces la ecuación muestra que existe un decrecimiento pequeño en la población.

A esta ecuación se le conoce como ecuación diferencial lógistica, y fue estudiado inicialmente por Pierre Francois Verhulst.

Este modelo no lineal surge a raíz de analizar una situación en la que, por ejemplo, se tiene un tanque con un hueco en la base con área A, a través del cual sale el líquido almacenado en el tanque. Veamos este caso.

Actividad de aprendizaje

En este crucigrama encontrarás como pistas algunas formulas relacionados con la explicación del modelo, tu tarea es escribir correctamente el nombre del modelo dada la ecuación. Te sugerimos tener lápiz y papel a la mano.

En esta unidad se presentaron algunos problemas cuyo modelado se realiza a través de ecuaciones diferenciales de primer orden. En primer lugar, abordamos cuatro situaciones en las que las ecuaciones diferenciales resultantes son de primer orden lineales, las cuales se muestran en la gráfica de esta pantalla.

En segundo lugar trabajamos con dos situaciones que dan lugar a ecuaciones diferenciales no lineales, a saber la ecuación diferencial logística que mejora el modelo de crecimiento/decrecimiento imponiendo condiciones en el ambiente y la ley de Torricelli en la que particularizamos en un caso que da lugar a una ecuación separable pero no lineal.