Para abordar y comprender módelos matemáticos debemos introducirnos en el mundo de las ecuaciones diferenciales, formalizar matemáticamente su definición y caracterizarlas según sus propiedades, así como encontrar su solución; para lo cual se debe utilizar los conocimientos previos en cálculo diferencial e integral.

Propósito General

Caracterizar la clasificación básica de las ecuaciones diferenciales a partir del orden y la cantidad de variables que aparecen en la misma, así como abordar los métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Propósitos Específicos

• Identificar el uso de ecuaciones diferenciales para la solución de problemas de frontera en los que aparecen funciones continuas y sus derivadas.
• Establecer una clasificación de las ecuaciones diferenciales.
• Estudiar las condiciones para qué una ecuación diferencial ordinaria de primer orden tenga solución en el espacio vectorial de funciones reales y algunos de los métodos de solución asociados.

Las ecuaciones diferenciales se constituyen en un importante puente entre el estudio de las matemáticas y sus aplicaciones a la ingeniería y otras ciencias como la química o física. De este hecho son responsables Newton y Leibniz en el siglo XVII con el inicio del estudio del cálculo y la formalización del concepto de derivada y sus propiedades.

Una ecuación que incluye una función y sus derivadas se conoce como una Ecuación Diferencial. Con esta definición son muchas las ideas que pueden venir a nuestra mente porque no especifica algo en relación al tipo de función o sus derivadas.

Es así como se hace importante realizar una clasificación de las Ecuaciones Diferenciales para trabajar por grupos sus caracteristicas, métodos de solución y aplicaciones.

A continuación se mostrará una de las posibles clasificaciones considerando algunas de las características de las ecuaciones diferenciales:

• Por tipo de derivadas
• Por el orden de las derivadas
• Por linealidad
• Por homogeneidad

Recuerda que para las ecuaciones diferenciales parciales también se puede utilizar la notación de subíndices así:

Hasta el momento hemos aclarado algunas de las ideas en relación a lo qué son las ecuaciones diferenciales y los tipos de E.D con las que podemos trabajar.

Sin embargo, aún no sabemos cómo solucionarlas o lo que significa la solución de una ecuación diferencial. En esta sección definiremos lo qué es la solución de una ecuación diferencial y haremos algunas presiciones sobre éstas.

Dada una ecuación diferencial ordinaria, si una función y=ø(x) definida en un intervalo abierto I = (a,b), y con derivadas de orden n continuas en el mismo intervalo, se sustituye la ecuación diferencial y se safisface, entonces y=ø(x) se denomina solución de la ecuación diferencial. Esto convierte a la ecuación diferencial en una identidad.

También es importante reconocer que existen soluciones de ecuaciones diferenciales que se pueden escribir de forma implícita esto significa una función de la forma G (x,y) = 0, o una relación y es común que las funciones de esta forma aparezcan como soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Actividad de aprendizaje

En este juego empareja las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Te sugerimos tener lápiz y papel a la mano para comprobar las soluciones con las ecuaciones diferenciales.

En la sesión anterior estudiamos la familia de curvas, soluciones de una ecuación diferencial, como la solución general de la ecuación diferencial y las soluciones particulares como una de las curvas de dicha familia. En esta sección pensaremos en las curvas particulares como la solución de la ecuación diferencial sujeta a una condición inicial. Te invitamos a estudiar la siguiente situación.

Ahora bien, las dos situaciones planteadas en la actividad por descubrimiento son ejemplos de dos tipos de problemas que definiremos a continuación, los problemas con valores iniciales y los problemas con valores de frontera. Analicemos un ejemplo donde se determinen la solución particular dadas las condiciones iniciales.

Pensar en la solución sujeta a las condiciones iniciales o a las condiciones de frontera es considerar una de estás curvas biparamétricas. Sin embargo, aparecen preguntas fundamentales al querer distinguir de todas esas curvas una que satisfaga ciertas condiciones.

Para la solución de estas inquietudes, consideremos en primer lugar las Ecuaciones Diferenciales de primer Orden, y consideramos el teorema de Existencia de una solución única, tal como se muestra en el medio de esta pantalla.

Estudiemos ahora el siguiente problema como ejemplo del Teorema de existencia de la solución única.

En las sesiones precedentes hemos estudiado los aspectos generales de las ecuaciones diferenciales, como los tipos de ecuaciones, las caracteriticas y formas de las ecuaciones y las soluciones generales y particulares. En esta sesión iniciaremos con el estudio de los métodos de solución para las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Sabemos que una ecuación diferencial de primer orden, restringe nuestro estudio a las ecuaciones cuya máxima derivada es de orden uno, es decir, ecuaciones cuya forma general corresponde a:

Así dependiendo de la forma de g(x,y) o de ciertas propiedades de la ecuación nuestro estudio permitirá trabajar con algunos métodos para encontrar su solución, como se muestra en el gráfico de esta pantalla.

Ya sabemos que la forma general de una ecuación diferencial es:

Ahora bien, si g (x,y) se puede escribir de la forma

o de la forma g (x,y) = f (x) h (y) entonces la ecuación diferencial de primer orden se conoce como una ecuación que se puede resolver por Variables Separables.

A continuación distingamos algunas ecuaciones diferenciales que son de variables separables y otras que no lo son, donde además se expondrá el desarrollo de cada uno.

Ya sabemos que la forma general de una ecuación diferencial es:

a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x)

Ahora bien, si g (x,y) se puede escribir de la forma a₁(x)y' + a₀(x)y = g(x) o de la forma g (x,y) = f (x) h (y) entonces la ecuación diferencial de primer orden se conoce como una ecuación que se puede resolver por Variables Separables.

A continuación distingamos algunas ecuaciones diferenciales que son de variables separables y otras que no lo son, donde además se expondrá el desarrollo de cada uno.

Una diferencial de primer orden cuya forma corresponde a:

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Se conoce como una ecuación diferencial exacta si la expresión M (x,y)dx + N (x,y)dy es una diferencial exacta.

Ahora bien, antes de iniciar con el método es importante definir un criterio para comprobar si la ecuación diferencial corresponde a una diferencial exacta, a este lo denominan Criterio para las Exactas.

Para una función z = f(x,y) con derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, se tiene que su diferencial exacta es:

Dada la ecuación diferencial no exacta que tiene la forma:

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Se tiene que:

• Si es un función que solo depende que x, entonces el factor integrante es:

  

• Si es un función que solo depende que y, entonces el factor integrante es:

  

Donde N_x, M_y son la derivadas parciales.

Nuestro propósito en esta sesión es estudiar los denominados factores integrantes especiales.

Existen ecuaciones de primer orden de la forma:

Que aunque no son separables directamente, pueden transformarse en ecuaciones diferenciales separables haciendo un cambio de variable; como un ejemplo de tales ecuaciones tenemos las llamadas ecuaciones homogéneas.

Hemos desarrollado ciertos mecanismos para solucionar algunas ecuaciones no lineales como si lo fueran, particularmente, haciendo un cambio de variable. Uno de tales mecanismos se aplica a las llamadas ecuaciones de Bernoulli.

Material de apoyo

En esta unidad hemos presentado las características principales de las ecuaciones diferenciales, su definición así como la clasificación según sus características y propiedades. Además, abordamos la idea de la solución general de las ecuaciones diferenciales como una familia de curvas y la solución particular y su existencia en una región del plano xy.

Una vez familiarizados con la idea general de las Ecuaciones Diferenciales, particularizamos nuestro estudio en las ecuaciones diferenciales de primer orden. En ese proceso distiguimos cinco tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y su método de resolución, tal como se evidencia en el gráfico de pantalla.