En el mundo de las matemáticas el concepto de función, que es la relación entre dos cantidades o magnitudes dependientes entre sí y que cumplen unas relaciones concretas, es uno de los más importantes por su marcada incidencia en la vida diaria y por ende en la ingeniería; por ello, su estudio, modelamiento y aplicabilidad deben ser tratados en la materia.

Saber dibujar una función para su análisis es de vital importancia, al igual que sus transformaciones y su álgebra.

Por lo anterior, se tratará el uso de la función, sus transformaciones, al igual que se interpretarán las funciones exponencial y logarítmica.

Objetivo general

Manejar y aplicar las diferentes funciones y sus inversas, desarrollando ejercicios propuestos por el docente.

Objetivos específicos

• Distinguir y dibujar los diferentes tipos de funciones y sus transformaciones.

• Modelar distintas situaciones mediante una función.

• Graficar e interpretar las funciones exponencial y logarítmica; resolver ecuaciones del mismo tipo.

Inicialmente, es necesario abordar los conceptos de:

• Función: una función f es una relación entre dos conjuntos en la cual se le asigna un elemento x en un conjunto A; para el conjunto B, un elemento llamado f(x). Aquel elemento x se denomina variable independiente y el elemento f(x) se denomina variable dependiente.

• Dominio: el dominio de una función es el valor que puede tomar la variable independiente para que el valor de la dependiente sea real.

• Rango: es el valor que puede tomar la variable dependiente; es decir, el resultado f(x) de la función para dicho dominio.

• Gráficas: es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que y = f(x). En pocas palabras, la gráfica de una función es la que corresponde a la ecuación y = f(x).

Según las características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, se obtienen diferentes clases de funciones:

• Función Polinomial

• Función raíz

• Función racional

• Función a trozos

• Función parte entera

• Función valor absoluto

• Función signo (x)

Basándose en funciones ampliamente conocidas, existe la posibilidad de hallar las ecuaciones y gráficas de otras muy parecidas, con el solo hecho de trasladar, reflejar, contraer, dilatar o aplicar valor absoluto a estas funciones.

Para cada uno de los casos anteriores se aplican las transformaciones requeridas, para obtener así la ecuación y la gráfica de una manera muy sencilla.

• Traslaciones
  • Traslación horizontal
  • Traslación vertical

• Reflexiones
  • Reflexión en el eje X
  • Reflexión en el eje Y

• Contracciones y dilataciones

• Valor absoluto

Las funciones se trabajan de manera constante en la cotidianidad ya sea de manera sencilla, como cuando se representa el movimiento en línea recta de cualquier objeto (despreciando su masa) con una velocidad constante, hasta en casos complejos, como la representación de la campana de Gauss en probabilidad. En cada caso se tiene en cuenta una práctica metodología.

Por lo general las funciones se aplican para modelar fenómenos constantes tanto físicos como matemáticos; así se logra tener un mejor entendimiento de estos fenómenos y se pueden elaborar modelos matemáticos que resultan ser más fáciles de abordar que los modelos netamente experimentales.

Función par

Una función par es aquella que satisface para todo su dominio. Para determinar si una función es par o no de manera descriptiva, se debe verificar que la gráfica de la función sea simétrica respecto al eje y.

Función impar

Una función impar es la que satisface para todo su dominio. Para determinar si una función es impar o no de manera visual, se debe verificar que la gráfica de la función sea simétrica respecto al origen.

De dos o más funciones se pueden obtener otras nuevas, que son el resultado de una combinación que es conocida como álgebra de funciones, ya que se realizan con operaciones algebraicas:

• Suma de funciones

• Resta de funciones

• Producto de funciones

• Cociente de funciones

A la composición de funciones se les considera como una operación especial que consiste en sustituir una de las funciones dentro de otra; es decir que está compuesta de otra función.

Para denotar las composiciones se pone el símbolo "o".

Una función es inyectiva cuando los diferentes elementos del dominio o conjunto X les corresponden diferentes elementos distintos del rango o el conjunto Y.

Es una relación uno a uno; es decir, en X no puede existir dos o más elementos.

Y una función es inversa cuando se opone la relación de los conjuntos y se genera una nueva función. Se dice que la función inversa o reciproca de f , es otra función definida como f−1.

Las funciones exponenciales se destacan por tener la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.

La definición de función exponencial requiere que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1).

Contrario a la función exponencial está la logarítmica que se define de la siguiente manera: donde es la base de la función logarítmica.

Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, son aquellas ecuaciones que involucran en alguno de sus términos funciones exponenciales o logarítmicas. Para resolver estas ecuaciones se hace uso de la propiedad de composición de la función inversa , y hay dos maneras de resolverlas si se encuentra una función:

• Exponencial

• Logarítmica

En esta cuarta unidad se evidenció que el estudio de las funciones es un tema indispensable y de mucha aplicación en la ingeniería.

Muchas situaciones o casos de la vida real se pueden representar mediante el modelado, el algebra y composición de funciones. Adicionalmente, se realizaron varios ejercicios de aplicación.

Por último, las funciones exponencial y logarítmica, inversas mutuamente y de gran importancia en las matemáticas debido a su campo de aplicación.