La geometría euclidiana es una parte importante del estudio de las matemáticas, ya que con ella se pueden relacionar figuras geométricas y establecer analíticamente áreas y volúmenes de figuras que se usan cotidianamente como los polígonos, y los poliedros.

Así mismo, el estudio del triángulo, que es de lo que trata la Trigonometría, se constituye en un aspecto de gran importancia para el desarrollo del cálculo, que junto con las funciones trigonométricas y la resolución de los triángulos rectángulos se convierten en aspectos necesarios para aplicar a los problemas de la vida real.

Finalmente, la gráfica de ecuaciones y la solución de sistemas de ecuaciones resulta de gran utilidad para aplicar a cualquier tipo de problemas.

Todas las anteriores son las razones por las que es necesario abordar estos temas, pues resultan ser unas bases sólidas para el cálculo.

Objetivo general

Conocer y desarrollar la trigonometría y geometría euclidiana, al igual que sus diferentes teoremas.

Objetivos específicos

• Analizar y comprender la geometría plana y sus aplicaciones.

• Conceptualizar y practicar la geometría analítica mediante la solución de problemas prácticos.

• Medir y calcular volúmenes de diferentes sólidos.

• Resolver problemas que incluyen parábolas, elipses e hipérbolas.

• Solucionar sistemas de ecuaciones lineales por diferentes métodos.

El plano coordenado o plano cartesiano es una representación del espacio en dos dimensiones. En éste se pueden obtener pares ordenados de coordenadas (a, b) para establecer la posición de cualquier punto en el plano.

La primera coordenada a es la correspondiente a las abscisas, eje x o eje horizontal del plano y la segunda b corresponde a las ordenadas, eje y o eje vertical del plano.

Dentro del plano coordenado es importante estudiar:

• Distancia

• Punto medio

En el plano coordenado es posible representar ecuaciones en donde se ven involucradas dos incógnitas (x, y). Entonces, la gráfica de una ecuación es todo par de coordenadas (x, y) que satisfacen la ecuación dada. Es decir, es un conjunto de puntos que al reemplazarlos en la ecuación se obtiene el resultado esperado.

Cuando se grafican las ecuaciones, que son del tipo , donde y son las incógnitas de la ecuación, se deben seguir dos pasos:

• Despejar una incógnita

• Obtener valores de y

Observación: siempre que la ecuación sea lineal y se vean involucradas dos incógnitas, la gráfica de ésta será una línea recta.

Una circunferencia es una curva en el plano, en donde todos los puntos P que la contienen están a una distancia r (radio) del centro C de la misma.

Ecuación de la circunferencia

Para determinar la ecuación de la circunferencia se buscan aquellos puntos P con coordenadas que tengan una distancia r al centro C con coordenadas . Para esto se aplica la fórmula de la distancia:

En esta ecuación de la circunferencia, su centro está en y tiene un radio r así:

En consecuencia, si se tiene C (0,0); la ecuación de la circunferencia es:

Una recta es una sucesión infinita de puntos que se encuentran ubicados en una misma dirección.

En la recta se puede hacer referencia a:

• Pendiente de la recta

• Ecuación de la recta

• Rectas paralelas

• Rectas perpendiculares

Una de las aplicaciones más comunes de la pendiente de una recta es la razón de cambio, ya que la pendiente se puede ver como la razón de cambio de una cantidad (y) contra otra cantidad (x).

El ejemplo más común es la velocidad (m/s), ya que se mira la razón de cambio entre distancia recorrida y el tiempo empleado para recorrerla.

De otra parte, también es usual que se apliquen los modelos de variación directa e inversa, que se presenta según el comportamiento de las cantidades

Las líneas pueden ser:

• Rectas
• Curvas
• Poligonales
• Mixtas
• Cerradas

Los ángulos pueden ser:

• Agudos
• Rectos
• Obtusos
• Llanos
• Completos

Como ya se trató anteriormente una razón es un cociente entre dos cantidades y se puede ver como una fracción. Una proporción es una igualdad entre dos razones, que se pueden ver de la siguiente manera para las cuatro cantidades a, b, c y d:

La anterior proporción se lee “a es a b como c es a d”: donde a y d son denominados extremos y b y c son denominados medios.

Teorema de Thales

Si tres o más líneas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos que se encuentran en una línea transversal es proporcional a los de la otra línea.

Como se ha conocido siempre, el triángulo es un polígono de tres lados que se encuentra conformado por tres segmentos de recta, conocidos como lados, o por vértices que son tres puntos no alineados.

Esta figura geométrica tiene una clasificación, según sus lados y ángulos. Adicionalmente, los teoremas de Herón y Pitágoras han permitido, entre otros aspectos, hallar su área.

La trigonometría de ángulos rectos se refiere al estudio del triángulo rectángulo. Por medio de los ángulos que lo constituyen, uno de ellos de 90°, y las longitudes de sus lados, se obtienen las razones trigonométricas.

Estas razones son usadas ampliamente para resolver problemas en los que se tienen que hallar ángulos o longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

De las razones trigonométricas, se obtienen las conocidas funciones trigonométricas que son aplicadas en la cotidianidad.

Las razones trigonométricas se utilizan exclusivamente para los triángulos rectángulos, pero para el caso contrario; es decir, para los triángulos que no son rectángulos se hace uso de los siguientes teoremas:

• El teorema del seno: expresa que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos de cada uno.

• El teorema del coseno: permite relacionar un lado con los otros dos y su ángulo opuesto.

De manera precisa se trabajará la forma de hallar los perímetros y las áreas de figuras como el triángulo, rectángulo, rombo, trapecio y polígono regular.

Vale recordar que un sólido o cuerpo geométrico es una figura que ocupa un lugar en el espacio y por consiguiente posee un volumen. Adicionalmente tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.

Entre los sólidos geométricos se encuentran:

• Esfera

• Cono

• Cilindro

• Prisma

Una elipse es un conjunto de puntos que la suma de las distancias de estos a dos puntos F₁ y F₂ es constante. Estos dos puntos son denominados los focos de la elipse. La línea que corta estos dos puntos se denomina eje mayor y el que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje mayor se denomina eje menor.

Una parábola es un conjunto de puntos equidistante a un punto denominado foco (F) y a una recta denominada directriz (l). El vértice (V) está en la mitad entre al foco y la directriz y el eje de simetría es aquel que pasa por el vértice y el foco y es perpendicular a la directriz

Una hipérbola es un conjunto de puntos en el que la diferencia de las distancias a los dos puntos F₁ y F_2, que son denominados focos de la hipérbola, es constante. Del centro de la hipérbola se extienden dos rectas que se conocen como las asíntotas de la hipérbola.

Se trata de un sistema que describe un problema con ayuda de varias ecuaciones. Para resolverlo y conocer sus incógnitas necesita combinarse. Vale aclarar que para este estudio solo se verán sistemas de ecuaciones que tienen la misma cantidad de ecuaciones y de incógnitas

Para resolver un sistema de ecuaciones se pueden utilizar los siguientes tres métodos:

• Sustitución

• Igualación

• Eliminación

En esta tercera unidad se realizó un repaso del plano cartesiano, cómo se expresan sus coordenadas y cómo graficar en él. Así mismo, se analizaron las propiedades de la recta, su pendiente y cómo se aplica en problemas cotidianos.

Se tuvo un acercamiento a los teoremas principales de la geometría euclidiana como el de Pitágoras, Herón y el de Thales. Así mismo, se mostraron el tipo de líneas y ángulos que se encuentran en la geometría y se analizaron las curvas cónicas: parábola, elipse, circunferencia e hipérbola.

Adicionalmente, se hizo una introducción a la trigonometría como estudio del triángulo y se abordaron las razones trigonométricas y las leyes del seno y el coseno. Se repasó áreas y volúmenes de los polígonos y sólidos más importantes y por último se abordó el cómo solucionar un sistema de ecuaciones por los tres métodos: igualación, sustitución y eliminación.