Al tener conceptualizados y aprendidos las axiomas de los números reales, ahora se aplicarán en las expresiones algebraicas para así poder factorizar, racionalizar y resolver ecuaciones tanto lineales como de segundo orden o cuadráticas.

Mediante ejemplos de aplicación se hará el modelado de una ecuación y se resolverán desigualdades.

Propósito general

Operar adecuadamente los casos de factorización, ecuaciones e inecuaciones mediante ejercicios propuestos en clase.

Propósitos específicos

• Aplicar correctamente los casos de factorización, las fracciones algebraicas y su racionalización.
• Modelar y resolver una ecuación lineal o cuadrática.
• Interpretar y hallar la solución de una desigualdad

Factorizar un polinomio es obtener varios polinomios de menor grado y que su producto sea equivalente al polinomio original. Esto se observa en el siguiente ejemplo:

Se puede deducir entonces que el polinomio original es:

Y su respectiva descomposición en polinomios es:

Donde {p} y {p+q} son polinomios diferentes.

Para aplicar la factorización existen ocho casos definidos, que podrá consultar en el documento maestro de esta unidad.

Una fracción algebráica es un cociente entre dos expresiones algebraicas (polinomios).

Estas fracciones pueden ser simples o compuestas y poseen operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y la división.

• Fracción simple

  Es aquella fracción que no posee una fracción algebraica ni en el numerador ni el denominador.

  
  

  Ejemplo

  
  \frac{x-3}{{{\left( x+5 \right)}^{3}}}+\frac{x+6}{{{\left( x+5 \right)}^{2}}}-\frac{x-8}{x+5}

• Fracción compuesta

  Es aquella que posee en su numerador o denominador una fracción algebraica. Mediante simplificación y el producto de medios y extremos, una fracción algebraica compuesta se puede convertir en una simple equivalente.

  
  

  Ejemplo

  
  \frac{\frac{1}{x-4}+7x-2}{2{{x}^{2}}+\frac{3}{x-2}}

La racionalización es una forma de simplificación de fracciones algebraicas en donde se eliminan los números irracionales (radicales) del denominador.

En las fracciones algebraicas se consideran unos casos que son los más comunes.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Los literales de estas expresiones algebraicas son denominados variables. Para la solución de ecuaciones se debe tener en cuenta la propiedad de uniformidad de la igualdad; así:

• Si se suma el mismo número en ambos lados, la igualdad se sigue manteniendo.

  
  A=B\to A+c=B+c



• Si se multiplica el mismo número a ambos lados y este es diferente de cero, la igualdad se sigue manteniendo.

  
  A=B\to cA=cB
  

Aunque existen varios tipos de ecuaciones los más comunes son:

• Ecuaciones lineales
• Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones de orden superior son aquellas en donde una o más de sus variables tienen orden mayor a dos.

Para resolver estas ecuaciones se aplican las propiedades de la radicación y la potenciación que permiten eliminar las raíces que se encuentran en la ecuación.

Según en la manera en cómo se resuelven, las ecuaciones se pueden dividir en:

• Fracciones
• Radicales

La división sintética es una forma de dividir un polinomio entre un binomio de la forma x-a donde a es un número entero. Ésta se usa para demostrar si un binomio es múltiplo de un polinomio específico. La división sintética cumple las siguientes reglas para obtener el cociente y el residuo de la división.

• El cociente siempre será un polinomio de un grado menor que el polinomio original.
• El coeficiente del término de mayor grado del polinomio original será el coeficiente del término de mayor grado del cociente.
• El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el término independiente del binomio divisor con el signo cambiado. A este producto se le suma al coeficiente del polinomio original que está en la misma posición respecto al cociente.
• Para obtener el residuo de la división se multiplica el último coeficiente del cociente y se multiplica por el término independiente del binomio divisor con el signo cambiado y este producto se le suma al término independiente del polinomio original.

Existen situaciones en la vida real en donde se pueden aplicar las ecuaciones. Esto se logra mediante un modelado correcto de la situación expuesta, ya que si no se modela correctamente, la solución a la ecuación no será la correcta para resolver el problema dado.

Una desigualdades una sentencia en donde una expresión puede ser menor (<), mayor (>), menor o igual (≤) o mayor o igual (≥) a otra expresión. Cuando las expresiones son algebraicas son conocidas como inecuaciones, ya que, a diferencia de las ecuaciones, no se posee una igualdad sino una desigualdad.

La característica principal de las inecuaciones o desigualdades, que adicionalmente posee unas clases, es que la solución no es un número sino un intervalo o una unión de estos sobre la recta real.

Tipos de desigualdades

• Lineales: estas se caracterizan porque sus variables son de grado uno, y se resuelven siguiendo las propiedades de desigualdades.
• Cuadráticas: se caracterizan porque alguna de sus variables es de segundo orden y, como en las ecuaciones cuadráticas, la idea en este caso es “desigualar” a cero para poder obtener un polinomio de orden dos y así poder factorizar en dos factores.
• Valor absoluto: esta desigualdad se debe manejar diferente ya que se debe tener en cuenta la definición matemática del valor absoluto.

Al igual que las ecuaciones, las inecuaciones poseen propiedades para ser resueltas de una manera sencilla y rápida.

En esta segunda unidad se hizo un repaso de las expresiones algebraicas y se desarrollaron los ocho casos de factorización más comunes. También se trabajó con fracciones algebraicas mostrando sus características (simples o compuestas) al igual que se realizaron operaciones entre ellas.

Adicionalmente, se dio la definición del concepto de racionalización, con lo que se hace un acercamiento a las fracciones algebraicas con radicales en su denominador.

El siguiente tema que se expuso fue el de las ecuaciones, en el que se trataron las propiedades de la igualdad y se mostró cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones (lineales, cuadráticas, fraccionarias y de orden superior).

Posteriormente, se hizo un refuerzo a la factorización, con la división sintética, su teoría y desarrollo, y luego se expusieron las aplicaciones de las ecuaciones en problemas sencillos de la vida real.

Finalmente, se llegó al tema de desigualdades, en el que se explicó cómo resolver desigualdades lineales, cuadráticas y con valor absoluto en sus expresiones. También se desarrollaron y aplicaron diversos ejercicios.