Recordar los axiomas de los números reales de la suma y multiplicación llevará a las leyes usadas por el álgebra; para esto se abordarán diferentes operaciones entre reales.

De otra parte, con el concepto de número real se tratará el de número complejo y se harán diferentes operaciones.

Por último, se realizarán ejercicios prácticos para hacer operaciones con expresiones algebráicas.

Objetivo general

Repasar y apropiar las operaciones y axiomas de la matemática básica mediante los números reales.

Objetivos específicos

• Entender y aplicar correctamente los axiomas de los números reales.

• Usar y realizar cálculos con números reales y complejos.

• Realizar operaciones con expresiones algebraicas, productos y cocientes notables.

El Conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales (Q) y el conjunto de los números irracionales (Q’); es decir, R = Q UQ’.

Geométricamente, todos los números reales se pueden representar en la recta real mediante puntos, dando origen a la propiedad de la completez.

En las desigualdades, si el número a está a la derecha del número b en la recta real, a es mayor que b y se denota a>b; dando la recta una idea de orden. De manera análoga, si a está a la izquierda de b en la misma recta, a es menor que b y se denota a<b.

Los axiomas o propiedades se presentan en suma y multiplicación, como en igualdad de reales.

Como es bien sabido, un producto de números iguales se puede escribir en notación exponencial.

Si

Siendo la n-ésima potencia de p y única. En esta expresión, p es la base, n el exponente y p ≠ 0.

Al resultado de esta operación se le llama potencia. Las propiedades de la potencia se pueden visualizar en el documento maestro.

A partir de la potenciación de los reales se puede tener en notación exponencial. Siendo q la raíz n-ésima de p; es decir, p elevado a la n-ésima potencia da como resultado q.

En esta última expresión, p es el radicando, n es el índice y q es la raíz. Al símbolo se le llama radical.

Si n es par:

a) p es negativo, entonces, q no existe.

b) p es positivo, entonces, ±q.

Si n es impar, q existe para cualquier real.

Propiedades

Si p, q, m y n ∈ R positivos, se tiene:

• Propiedad 1
• Propiedad 2
• Propiedad 3
• Propiedad 4
• Propiedad 5

Expontes Racionales

Para:

• Propiedad 6
• Propiedad 7

Un número complejo, es una entidad matemática conformada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria.

Los números complejos, por lo general, se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i.

La solución a la ecuación de la forma, , se halla en el conjuntode números complejos así:

.

Las prinicipales operaciones de los números complejos son:

• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• Potenciación

Una expresión algebraica, a la que se le realiza unas operaciones básicas, está formada por la combinación de números, letras, signos de operación(+, -, *, /, ) y signos de agrupación (( ), [ ], { }).

A las cantidades separadas por los signos + o – se les denomina términos y éstos están formados por factores que pueden ser números o letras.

A los números se les llama coeficientes numéricos y son constantes. Las letras pueden ser constantes o variables.

Al conjunto de los números y constantes se les denomina coeficiente del término.

Producto notable es el nombre de las multiplicaciones con expresiones algebraicas; son operaciones a las cuales se puede llegar a un resultado fácilmente mediante la aplicación de unas sencillas reglas.

Los cocientes notables resultan de divisiones exactas entre polinomios y para sus resultados también se cuentan con unas reglas.

En esta unidad se hace un recuento sobre el conjunto de los números reales, que son la unión entre los conjuntos de números racionales e irracionales, empezando por sus axiomas o propiedades de la suma y multiplicación: Clausurativa, Conmutativa, Asociativa, Distributiva, Modulativa y la Inversa.

Luego, se trata a la potenciación y radicación en cuanto a sus propiedades. También, se hace una introducción a los números complejos con sus respectivas operaciones y su representación en el plano.

Por último, mediante las operaciones de suma, resta, producto y división con expresiones algebraicas se entra al campo algebraico, al igual que con los productos y cocientes notables.