En la naturaleza existen cuatro interacciones fundamentales, una de ellas es la de la gravedad, la cual corresponde a una fuerza de atracción central ejercida por la Tierra sobre cada partícula de una distribución o un cuerpo finito. La fuerza resultante de esta interacción se conoce como peso y se localiza en el centro de gravedad o en el centroide, punto que puede estar en el interior o exterior del cuerpo.

En un campo gravitacional uniforme se encuentra que el centro de gravedad coincide con el centro de masas CM. Es importante tener en cuenta que son conceptos completamente diferentes.

Cuando se analiza la interacción de una placa o alambre entonces se habla del centroide C, el cual corresponde a un punto geométrico. Establecer las coordenadas del centroide implica considerar la gravedad y el peso específico del material que compone al objeto en estudio.

Propósito General

Determinar la ubicación del centro de gravedad y del centroide en distribuciones de partículas o en cuerpos finitos por medio de técnicas de integración o propiedades de homogeneidad y simetría.

Propósitos Específicos

• Distinguir los conceptos de centro de gravedad y centroide.
• Localizar las coordenadas del centro de gravedad y del centroide.
• Aplicar el teorema de Pappus-Guldinus para calcular el área superficial o el volumen en sólidos de revolución.
• Calcular la fuerza resultante de una distribución de carga sobre un cuerpo rígido.

La fuerza de gravedad o peso w de un cuerpo bidimensional en el plano xy o proyectado sobre este, se ubica en un punto especial conocido como centro de gravedad (CG) con coordenadas .

Dada una distribución de n partículas en un campo gravitacional uniforme, sobre cada una de ellas actúa la fuerza de gravedad con la misma intensidad, tal que existen n-vectores de peso w_i = m_ig con i = 1, 2, ..., n..

Las expresiones que determinan la fuerza resultante w y las coordenadas se pueden dar con relación a dos formas de visualizar el sistema: nivel discreto y nivel continuo.

Siempre hay que tener en cuenta que el centro de gravedad para una línea no se localiza exactamente sobre ella.

Material de apoyo

El centroide es una idea puramente geométrica dependiente del estilo o forma del cuerpo. Determinar este punto es equivalente a definir su centro geométrico, el cual coincide con el centro de gravedad si la densidad del cuerpo es homogénea.

A continuación se presenta la expresión para determinar las coordenadas del centroide para líneas y áreas, sean o no de placa homogénea, utilizando para ello un proceso similar al empleado en las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.

Material de apoyo

Una forma de analizar los primeros momentos en un área o línea es mediante cuatro propiedades como son: si existe un eje de simetría, el centroide se ubica sobre este, porque su primer momento estático con relación a dicho eje es igual a cero.

Con dos ejes de simetría el centroide se ubica en la intercepción de dichos ejes y en el caso en donde no existen ejes de simetría para áreas o líneas se localiza entonces su centro de simetría.

Finalmente, en áreas asimétricas o fronteras irregulares el centroide se localiza al evaluar las integrales de forma numérica.

En general, la mayor parte de piezas u objetos están compuestos a su vez de otros. Localizar el centroide en un cuerpo bidimensional compuesto de otros como un todo, implica calcular las áreas de cada uno de sus componentes al igual que sus respectivos centroides.

En general, los pasos para la solución en alambres compuestos es similar al de los placas compuestas.

Material de apoyo

Los dos teoremas de Pappus-Guldinus se emplean para calcular el área superficial y el volumen de los cuerpos de revolución, por medio de las coordenadas de sus respectivos centroides y las longitudes o áreas que dan origen a dichos cuerpos.

Los radiotelescopios, las antenas, las cocinas solares, etc., son paraboloides de revolución que se origina girando una parábola entorno a un eje fijo. El funcionamiento de los radiotelescopios consiste en que las señales al incidir paralelas al eje de simetría del paraboloide se reflejan hacia el foco, esto hace que se concentren en ese punto, en donde las recibe un receptor. En el caso de las cocinas solares la concentración de rayos en el foco permite cocinar alimentos si se ubica el recipiente justo en este punto.

Material de apoyo

Los conceptos de centro de masa, centro de gravedad y centroides son conceptos físicos diferentes. El centro de gravedad coincide con el centro de masa si el objeto en estudio se encuentra en un campo gravitacional uniforme. El centroide de un cuerpo se localiza exactamente en el centro de gravedad para un cuerpo cuando se consideran densidades homogéneas.

La importancia de estos conceptos está en que se puede concentrar las fuerzas de una distribución de cargas en una resultante que actúa directamente sobre un punto específico (CM, CG, C) conservando las propiedades del cuerpo.

Por otro lado, se establecen los momentos de primer orden Q_x y Q_y para líneas como el producto entre la longitud y las coordenadas de su centroide y en las superficies como el producto entre el área y las coordenadas de su centroide.

En el caso de analizar la ubicación del centroide para un área compuesta por diferentes partes con áreas de forma geométricas conocidas, entonces la solución es simplemente calcular los primeros momentos de cada una de ellas.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con las fuerzas distribuidas, y a revisar los dos ejemplos de distribuciones de carga que se presentan en el documento.