En el diseño de estructuras o máquinas es de vital importancia evaluar la geometría y la resistencia de cada uno de los elementos que las constituyen. El momento de inercia es una propiedad particular de las secciones transversales de los elementos estructurales que permite determinar su resistencia.

En esta OVA se estudiarán las fuerzas aplicadas distribuidas de forma diferencial por toda la sección transversal de los cuerpos. Se analiza cómo la acción de dichos diferenciales de fuerza, que actúan sobre diferenciales de área, dependen de la distancia que hay entre estos últimos y algún eje de referencia.

También, se buscará establecer una imagen visual de los segundos momentos, momentos mixtos y los principales de una superficie mediante el círculo de Mohr. Finalmente, se estudiará cómo encontrar los ejes para los cuales dicho momento de inercia llega a ser máximo y mínimo.

Propósito general

Estudiar la resistencia de los elementos estructurales a partir del momento de inercia de las áreas de sus secciones transversales.

Propósitos específicos

• Calcular el momento de inercia en diferentes áreas de secciones transversales.
• Aplicar el teorema de los ejes paralelos (Steiner) para encontrar el momento de inercia de un área.
• Analizar la transformación de los momentos de inercia con relación a la rotación de los ejes.
• Deducir el momento de inercia para una distribución de masas

El momento de inercia de un área se origina siempre que se relaciona el esfuerzo normal o fuerza por unidad de área, actuando sobre la sección transversal de una viga elástica por ejemplo.

El momento de inercia para áreas se puede expresar en términos del eje polar, lo cual corresponde al momento de inercia polar. Este equivalente a la adición de los momentos de inercia con relación a los ejes perpendiculares entre sí que interceptan el eje polar y además se encuentran en el plano. Se representa con la letra J.

En el análisis de la resistencia de elementos estructurales bajo torsión, es de vital importancia utilizar el momento de inercia polar en las secciones transversales.

Material de apoyo

El radio de giro de un área plana es una cantidad usada en mecánica de estructuras para diseñar columnas y tiene unidades de longitud. Concretamente, es el valor medio de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma.

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular siempre estará determinado por la siguiente ecuación:

Ix: radio de giro,
Ieje: segundo momento de área o momento de inercia de la sección
A: área de la sección transversal.

Material de apoyo

El presente teorema permite determinar el momento de inercia de un área respecto a cualquier eje paralelo al eje centroidal de la figura.

Para el cálculo de los momentos de inercia para áreas compuestas, por su parte, se necesita subdidivir el área general en estudio en áreas simples.

Es recomendable calcular el centroide de cada parte respecto al eje de referencia y después calcular el momento de inercia de cada una de esas partes respecto a sus ejes centroidales. También, cuando el eje centroidal de alguna de las partes no coincida con el eje de referencia se debe aplicar el teorema de Steiner.

Material de apoyo

El producto de inercia es cero cuando los ejes xy juntos o individualmente coinciden con los ejes de simetría del área en cuestión, ya que eso resultaría en productos de inercia iguales pero de signo contrario y al sumar o integrar, el resultado sería cero.

Puede ser positivo, negativo o cero dependiendo del signo de las coordenadas xy, ya que el diferencial siempre es positivo. También, al igual que el momento de inercia, comparten las mismas unidades, es decir, unidades de longitud, elevadas a la cuarta potencia.

Los momentos principales de inercia hace referencia a encontrar los momentos y productos de inercia para un sistema de coordenadas rotado en relación a uno de referencia.

Material de apoyo

El circulo de Mohr permite determinar gráficamente los ejes y momentos principales de inercia de un área A respecto al origen de un sistema de coordenadas xy, los momentos y el producto de inercia de la misma área A respecto a ejes rotados x'y' que pasen por el mismo origen.

Mediante el círculo de Mohr es posible determinar los momentos de inercia principales y los ejes principales en sistemas simples como compuestos.

El momento de inercia de masas da cuenta de la resistencia del cuerpo a un movimiento de rotación. En el cálculo de este se tiene que el momento de inercia de la masa completa corresponde a la suma de todos los momentos de inercia que aporta cada elemento diferencial, de tal forma que al incrementar el número de elementos diferenciales al límite, se obtiene una integral dada por la expresión:

Si se supone que se concentra toda la masa del cuerpo en un punto entonces , el momento de inercia estará dado por:

Donde k es el radio de giro o la distancia a la que se debe concentrar la masa del cuerpo y tiene unidades de Kgm² en el SI.

Material de apoyo

Este momento da cuenta de la inercia que presenta un cuerpo a las rotaciones, es decir, de la resistencia de dicho cuerpo a una aceleración angular.

Ahora bien, se puede determinar también el momento de inercia tanto en placas delgadas con densidad uniforme como en un cuerpo tridimensional por integración. En el primer caso, se realiza expresándolo tanto en momentos rectangulares como mediante el momento polar de inercia.

Por otra parte, en un cuerpo tridimensional cuya densidad varía, implica la solución de una integral triple o de volumen. Al igual que en un sistema compuesto, en los cuerpos tridimensionales se debe encontrar el momento de inercia de cada parte que lo constituye, respecto a un eje deseado, y por último, se calcula la suma de todos estos.

Los momentos de inercia de un área se definen como:

Reducir estos a una sola integral es posible si se considera dA una tira de área con la que debe cumplir con lo siguiente: que sea delgada y paralela a alguno de los ejes x e y.

También, se dedujo el momento polar de inercia de un área con relación a un polo O:

Considerando a r como la distancia entre el polo O y el diferencial de área dA. Además, se establece que J₀ corresponde a la contribuciones de los momentos de inercia con relación al eje x, I_x y al el eje y, I_y.

Por otro lado, se determinó el radio de giro con relación al eje x,

El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece que el momento inercial de un área es el mismo si se evalúa con relación a un eje arbitrario paralelo al eje centroidal. A esto se le adiciona el producto del área y la distancia entre los dos ejes al cuadrado.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad relacionada con los momentos de inercia.