En ingeniería industrial como en múltiples campos se utiliza la teoría de juegos. Por ejemplo, en la economía para la toma de decisiones entre compradores y vendedores se buscan las mejores decisiones, adicionalmente, la práctica es muy común cuando se tienen contrincantes donde se aplica la gestión y la estrategia es fundamental, porque la técnica se ha ampliado hasta factores psicológicos. Tales decisiones se consideran estratégicas, es decir, que los participantes en el juego actúan teniendo en cuenta las acciones que tomarían los demás.

Los competidores tomarán decisiones racionales, no necesariamente humanitarias, porque las nuevas tendencias de la biología explican la formación de los instintos o de numerosos mecanismos de cooperación animal por medio de la teoría de juegos.

En la teoría de juegos existen diferentes aplicaciones como en campo militar, la inteligencia artificial y en sistemas de negociación, así como en la resolución de ejercicios complejos.

La programación dinámica es una herramienta matemática que se utiliza para la solución de problemas lógicos en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial, proporcionando un procedimiento sistemático para encontrar la combinación de decisiones que maximicen la efectividad total del resultado, al descomponer el problema en etapas las cuales poseen un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes para tomar la mejor decisión, las que pueden ser completadas por una o más formas que reflejan las restricciones que enlazan las etapas, representando la manera cuando una etapa se optimiza por separado y la decisión resultante es automáticamente factible para el problema completo, enlazando cada etapa a través de cálculos recursivos.

Propósito general

Tomar las mejores decisiones en situaciones de interacción, es decir, en la aplicación de la teoría de juegos que son aplicables en los negocios, buscado estrategias que permita tomar decisiones bajo unos principios metodológicos y comprender los aspectos básicos de la dinámica de sistemas que se requiere para la solución de casos problemas empresariales a través de las diferentes técnicas.

Propósitos específicos

• Conocer y comprender la definición de teoría de juegos.
• Identificar, analizar y comprender los conceptos básicos de teoría de juegos que se requieren para la solución de casos.
• Conocer e identificar la clasificación de la teoría de juegos.
• Comprender el método de suma cero.
• Comprender y analizar el equilibrio de Nash.
• Conocer y analizar el dilema del prisionero, duopolios de Cournot y Bertrand.
• Comprender las generalidades de la programación dinámica.
• Entender la resolución del problema de la mochila.
• Analizar métodos de solución de la programación dinámica.

La teoría de juegos se puede definir como el estudio de modelos matemáticos que describen el conflicto y la cooperación entre individuos que toman decisiones; también, es el estudio del comportamiento estratégico cuando dos o más individuos interactúan y cada decisión individual resulta de lo que la otra persona espera que los otros hagan, es decir, qué debemos esperar que suceda a partir de las interacciones entre individuos, en otros términos, la teoría de juegos es una herramienta que comprende más, adecuadamente, la conducta de entes racionales en relación a la toma de decisiones.

En la economía y los negocios, si bien entendemos por economía la ciencia social que estudia la forma de administrar los recursos disponibles, es importante conocer la forma como los individuos se enfrentan a elecciones donde cada una implica unos costos y unos beneficios que dependen de unos mercados que probablemente cambien con facilidad (JC, 1952).

En la ciencia política la teoría de juegos no ha tenido el mismo impacto que en economía. Tal vez, esto se deba a que la gente actúa razonablemente menos cuando lo que está en juego son ideas a cuando lo que está en juego es su dinero. Sin embargo, se ha convertido en un instrumento importante para clarificar la lógica subyacente de un cierto número de problemas.

En la biología se ha utilizado ampliamente la teoría de juegos para comprender y predecir ciertos resultados de la evolución, como lo es el concepto de estrategia evolutiva estable; introducido por John Maynard Smith en su ensayo “Teoría de juego y la evolución de la lucha”, así como en su libro “Evolución y teoría de juegos”.

En la filosofía la teoría de juegos puede demostrar que los individuos más egoístas pueden descubrir que, en ocasiones, cooperar con otros puede redundar en sus propios intereses.

La teoría de juegos consiste en la participación de dos o más personas donde cada una tiene una estrategia a escoger, la opción que escoja depende de la opción que elija el otro jugador, de esta manera, los juegos tienen unos elementos que son importantes como: los jugadores, las acciones de cada jugador, el resultado del juego, los pagos, las diferentes estrategias, y la forma de la estrategia, el valor del juego, conceptos para toma de decisiones, valor esperado, valor probable, criterio medio y valoración del riesgo (Witenberg, 1984).

Conoce los conceptos de la teoría de juegos.

La teoría de juegos tiene múltiples maneras de clasificarse, por ejemplo, en juegos simétricos, juegos asimétricos y juegos en forma normal. La teoría de juegos consiste en determinar las decisiones de manera lógica y poderlas relacionar con todas las situaciones de negociación o conflictos, la información de los juegos se configura en unas matrices de decisión, conocidas como matrices de pagos (Lieberman, 2010).

Las clasificaciones de la teoría de juegos las propuso el matemático John Von Neumann en 1944, en colaboración con el matemático Oskar Maorgenstern que investigaron el comportamiento no colaborativo donde ambos pretenden ganar y a lo que gana uno, pierde el otro jugador.

Conozca la clasificación de los juegos.

Los juegos de suma cero entre dos personas simulan el juego entre dos partes, en las cuales todo lo que un jugador gane es proporcional a lo que el otro jugador pierde. El análisis de este tipo de juegos, especialmente en su forma normal o estratégica, conduce de modo general a resultados y predicciones más precisos que los de los otros juegos y la estructura de sus soluciones de equilibrio es también muy precisa. Seguramente, por esa razón el estudio de estos juegos ha representado una etapa inicial muy importante de la aplicación de la teoría de juegos a la economía, a pesar de que los ejemplos de aplicaciones económicas relevantes de juegos de suma cero son la excepción más que la regla (Benet, 2009).

Es importante resaltar que se cuenta con el supuesto de que ambos jugadores participan para ganar y actúan de manera racional. En los juegos de dos personas de suma cero existe una matriz de pagos, la cual significa que la ganancia de un jugador es exactamente la pérdida del otro. La matriz de pagos del primero basta para definir el juego y para realizar su análisis. Por esta razón, a los juegos de dos personas finitos de suma cero a veces se les llama juegos matriciales (Monsalve, 1999).

Veamos un ejemplo práctico.

Material de apoyo

El equilibrio de Nash es un concepto que pertenece a la teoría de juegos y se utiliza en la rama de la Economía que estudia modelos matemáticos de conflicto y cooperación entre individuos supuestamente racionales.

El creador del concepto es el matemático John Nash, quien en el año 1951 logró demostrar que, en todo juego en donde los participantes pueden escoger entre un número finito de estrategias (que pueden ser puras o mixtas), siempre existirá al menos un equilibrio (Economipedia.com).

El equilibrio de Nash es una situación en donde los individuos o jugadores no tienen ningún incentivo para cambiar su estrategia, teniendo en cuenta la estrategia de sus oponentes.

En el equilibrio de Nash, la estrategia que elige cada uno de los participantes de un conflicto o juego es óptima, dada la estrategia que han seleccionado los demás. En otras palabras, nadie ganará nada si decide cambiar su estrategia bajo el supuesto de que los demás individuos no cambian la suya.

Cabe destacar que bajo el equilibrio de Nash necesariamente no se obtiene la mayor ganancia para todos los individuos o jugadores en conjunto, solo se cumple que cada uno responde de manera óptima ante la estrategia de los demás. En muchos casos, a los individuos les gustaría poder alcanzar otro equilibrio con mayores ganancias, pero no logran hacerlo debido a que enfrentan el riesgo a ser traicionados.

Revise los siguientes ejemplos:

• Ejemplo 1.
• Ejemplo 2.

Uno de los ejemplos más conocidos del equilibrio de Nash es el que ocurre en el juego llamado el dilema del prisionero. Conozca un ejemplo.

Material de apoyo

La estrategia de punto de silla consiste en un método simultáneo donde se escoge el mínimo de un renglón y máximo de la columna, este método se denomina encontrar el punto de silla, después de tener el mínimo de todos los reglones y el máximo de todas las filas, si coinciden, este es el punto para escoger.

Revise un ejemplo de la estrategia de silla.

Actividad de aprendizaje

Pongamos en práctica lo aprendido sobre el punto de silla.

Un duopolio es un modelo de competencia en un mercado, caracterizado, principalmente, por la existencia de dos empresas productoras que controlan la totalidad de un mercado en concreto, gracias a la fijación conjunta de precios.

El control del mercado y la defensa de las posiciones predominantes de las dos empresas que ejercen la labor duopolista se realizan por medio de una importante herramienta: el precio. De este modo, a través de la fijación de unos determinados precios de manera conjunta, las compañías son capaces de impedir la entrada de competidores fuertes que amenacen su predominancia en el mercado.

Desde el punto de vista conceptual, las empresas presentes en un duopolio actúan del mismo modo que lo haría en situación de monopolio clásico: buscando maximizar sus beneficios e igualando su ingreso marginal a su coste marginal de producción.

Conceptualmente, es una derivación del modelo de monopolio en el que el peso de la actuación productiva recae simultáneamente en dos empresas destacadas que gozan de un mercado significativo. En ese mismo sentido, la evolución posterior del mismo conduce hacia una situación de oligopolio económico, donde es un número mayor de empresas participantes las que controlan y ocupan un cierto espacio o espectro económico, sin llegar a convertirse este sistema en uno de competencia perfecta.

El hecho de que los productores duopolistas decidan actuar conjuntamente a la hora de establecer sus precios es equivalente al efecto que tienen las decisiones en la práctica de una sola empresa monopolística. Otra característica de duopolio a destacar es que los productos puestos en el mercado por estas dos empresas suelen ser, normalmente, muy similares en términos de uso, valor, percepción del consumidor, etc. En otras palabras, este tipo de fenómeno suele aparecer en mercados de productos muy homogéneos, especialmente en el ámbito industrial.

Tipos de duopolio

• Modelo de Cournot
• Modelo de Bertrand

La programación dinámica consiste en reducir la complejidad de un problema, puede ser por medio de dividir el problema en subproblemas, es decir, problemas menos complejos, más pequeños y fáciles para resolver. Al resolver estos subproblemas la suma de estas soluciones combinadas será la respuesta del problema original, debido a que es importante encontrar la combinación que maximice o minimice la función del problema original, el problema se puede descomponer, por ejemplo, en etapas.

Una etapa es la parte del problema que tiene diferentes alternativas y de las cuales es importante escoger la mejor. Las etapas están compuestas por estados, un estado refleja las restricciones de las etapas que están conectadas con los demás estados con el fin de que si existe mejora en una etapa se verá reflejada en el resultado final.

La programación dinámica en términos de formulación de problemas no cuenta con un tipo de formulación matemática estandarizada, sino que depende de cada problema a resolver, es importante definir la variable de optimización que permitirá la maximización o minimización de esta (Denardo, 1937).

Una característica fundamental que debe efectuar los problemas resueltos por programación dinámica es que debe cumplir con unos criterios de optimalidad y, como generalmente el problema se resuelve en problemas más pequeños o etapas, debe existir unas características fundamentales para que esto se pueda cumplir.

Haga clic en el enlace para conocer el procedimiento para resolver un problema de programación dinámica.

El “problema de la mochila” es un ejercicio clásico formulado por Richard Karp en 1972, desde entonces se ha venido trabajando y citando por diferentes autores, sin embargo, existe un artículo de 1897 de George Mathews Ballard donde cita el problema conocido como knapsack ‘mochila’ en inglés. Tiene como característica que es combinatorio, es decir, explora todas sus combinaciones, se convierte en un problema difícil de resolver por la gran cantidad de combinaciones que puedan existir.

El “problema de la mochila” es un problema de fácil entendimiento y comprensión, pero no es tan fácil encontrar su respuesta óptima cuando nos enfrentamos a problemas de tamaños considerables. Consiste en tener una maleta o mochila que debe ser llenada por diferentes artículos u objetos que tienen un peso o tamaño, la idea es que la mochila tiene una capacidad máxima de carga, la cual se nos convertirá en una restricción (Mogollon, 1996).

Conozca un ejemplo del problema de la mochila.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a encontrar la respuesta óptima al siguiente problema.

Las sucesiones de Fibonacci tienen múltiples aplicaciones en matemáticas, las ciencias computacionales y la biología, entre otras. Fue propuesta por Leonardo de Pisa, matemático italiano (1170 – 1250). La sucesión de Fibonacci posee una función conocida como recurrencia, lo que significa que para calcular un número se necesita inmediatamente el anterior.

La sucesión de Fibonacci es una sucesión definida por recurrencia. Esto significa que para calcular un término de la sucesión se necesitan los términos que le preceden. La fórmula para calcular la sucesión de Fibonacci es:

Le invitamos a ver un ejemplo del cálulo de la función de Fibonacci.

Para los problemas de costo mínimo es muy común usar los grafos que son un conjunto de vértices y nodos, los cuales se encuentran unidos por arcos. Una forma de representarlos puede ser: G=(v,E) donde E es el conjunto de aristas.

El problema de hallar el camino de costo mínimo en un grafo dirigido es un caso específico que se llama problema de decisión en múltiples pasos.

Conozca la formulación general de este problema.

Material de apoyo

En esta unidad se presentó la teoría de juegos que es muy utilizada en la ingeniería industrial, como en el análisis de los comportamientos de los clientes, los proveedores, los empleados, entre otros, adicionalmente, se presenta en muchas situaciones empresariales donde los resultados dependen de las decisiones de diferentes agentes, es de aclarar que una decisión estratégica se utiliza cuando se tiene en cuenta las posibilidades propias y ajenas.

En el tema sobre teoría de juegos vimos los conceptos fundamentales que nos ayudan a entender la contextualización de los principios y la aplicación en los problemas industriales clásicos, si bien es cierto que la teoría de juegos ha alcanzado un grado de complejidad importante tanto a nivel de programación matemática como en resolución por medios computacionales, el apartado se centra en los conceptos básicos de la teoría de juegos.

En la teoría de juegos se trataron las definiciones y los conceptos fundamentales para entender la metodología y la aplicación en problemas de la vida cotidiana, se plantearon problemas de suma cero con su metodología de resolución, se explica el clásico problema del dilema de prisionero, así como la estrategia del punto de silla y los duopolios de Cournot.

Otro tema tratado en la unidad fue la programación dinámica que es una metodología muy utilizada en el campo industrial para resolver problemas de gran dificultad, donde cada día se encuentran soluciones mucho más rápidas y eficientes. En términos generales la programación dinámica consiste en disminuir la complejidad de los problemas por medio de unos subproblemas por etapas de este, es decir, resolver el problema por partes.

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