Las cadenas de Márkov son utilizadas en la industria debido a que pueden determinar una serie de eventos en los cuales se estudia las probabilidades de que ocurra un evento específico, que depende solamente del evento inmediatamente anterior, por lo tanto, siempre será importante el último evento y tener un registro de este, ya que de estos depende los eventos futuros y se pueden calcular las probabilidades que ocurra un evento.

La utilización de las cadenas de Márkov en el campo de la ingeniería industrial toma importancia cuando, por medio de las probabilidades de los eventos, podemos tomar decisiones, como, por ejemplo, el comportamiento de algunos trabajadores, patrones de compra de los clientes, entre otras.

El método lo propuso Andréi Márkov en el año 1907 para definir el comportamiento de los estados aleatorios, donde por medio de la probabilidad se puede pronosticar los eventos futuros.

Por su parte, la teoría de colas o líneas de espera se presentan en el mundo industrial, por ejemplo, cuando un producto espera para ser procesado por una máquina, o un camión de productos hace la fila esperando a ser descargado, o un cliente realiza una fila para pagar sus productos.

Propósito general

Comprender adecuadamente las cadenas de Márkov, en situaciones reales, dando soluciones a los problemas planteados, conceptualizándolos tanto en el mundo académico como empresarial y conocer diferentes estructuras de los sistemas de líneas de espera, realizando el análisis al sistema que permita determinar los diferentes indicadores conocidos como medida de desempeño, los cuales serán utilizadas para la toma de decisiones.

Propósitos específicos

• Entender la terminología de las cadenas de Márkov.
• Identificar las características de un proceso estocástico markoviano.
• Clasificar cadenas de Márkov.
• Identificar las características de la teoría de colas.
• Aplicar los indicadores de rendimiento a la teoría de colas.

Las cadenas de Márkov se definen como un proceso estocástico, es decir, probabilístico en un tiempo definido o tiempo discreto, las cuales deben cumplir con unos principios, generalmente, se conocen como principios markovianos que, básicamente, se pueden definir como en un suceso t=n+1, es totalmente independiente de t=n, es decir que el proceso o el evento futuro no depende del inmediatamente anterior, el evento depende de un fenómeno aleatorio (Viejo, 1996).

Recuerde que las cadenas de Márkov son un fenómeno aleatorio, suceso empírico que cumple las leyes de la probabilidad.

Un proceso estocástico se puede definir como la reunión de diferentes variables aleatorias que depende de unos argumentos o parámetros definidos, el parámetro para los procesos estocásticos es el tiempo. Un proceso estocástico es un evento en el cual no se puede predecir porque los eventos son aleatorios, una definición más formal sería, por ejemplo, una sucesión de observaciones X1, X2, X3, X4... Se denomina proceso estocástico. Si los valores de estas observaciones no se pueden predecir exactamente, se pueden especificar las probabilidades para los distintos valores posibles en cualquier instante de tiempo (Evans, 2004).

Los procesos estocásticos pertenecen a una rama de la probabilidad y estadística. La mayoría de procesos estocásticos se presentan en casos empresariales. Un proceso estocástico es un concepto matemático que se utiliza para manejar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias llamadas estocásticas, que evolucionan en función de otra variable.

En términos generales, los procesos estocásticos intentan predecir comportamientos de la forma más acertada, pero no son modelos que se puedan predecir con un 100% de exactitud, en el mundo industrial, por ejemplo, se puede tratar de predecir la cantidad de personas que llegan a un hospital, o el número de personas que llegan a ver una película por hora, en los procesos estocásticos es importante definir una serie de variables aleatorias, las cuales dependen de una variable determinística que es el tiempo.

Conozca un ejemplo de la clasificación del tiempo.

La matriz de transición o matriz de Márkov es conocida como matriz estocástica y es utilizada para describir las probabilidades de los cambios de estado, estas matrices esta formadas por números reales no negativos cuyas filas suman 1, esta matriz se denomina matriz de transición derecha, una matriz de transición izquierda es cuando la sumatoria de las columnas suman 1. Este concepto se define como vector estocástico cuyos números están formados por las probabilidades en que sus números suman 1, también es conocido como vector de probabilidades.

Las cadenas de Márkov tienen una característica fundamental que se conoce como matriz de transición, su definición formal la podemos apreciar a continuación:

Es decir, que las probabilidades de transición las podemos definir en la siguiente ecuación:

Estas ecuaciones satisfacen la ecuación de Chapman-Kolmogórov.

La ley de Chapman Kolmogórov dice que la probabilidad de que sucedan dos hechos al azar, que cumplan unas condiciones determinadas y que ocurran al mismo tiempo, es reducida.

Las matrices de transición de un solo paso se pueden definir de la siguiente manera:

Cualquier cadena de Márkov finita, con cambios de estados estacionarios, es una matriz estocástica.

Por lo tanto, la matriz de transición se expresa de la siguiente forma:

Material de apoyo

La representación gráfica de una matriz de transición se puede realizar a través de un diagrama. Este diagrama es conocido como diagrama de transición de estados.

En el gráfico anterior, los nodos son los estados de la cadena de Márkov y el arco {{P}_{ij}}representa la probabilidad de transición entre los estados que los une, en este caso la probabilidad de estar en el estado i y pasar al estado j, aclarando que si la probabilidad de cambiar de estado es cero, no es necesario colocar el arco.

Actividad de aprendizaje

Realice la siguiente actividad sobre la matriz de transición.

Las cadenas de Márkov se pueden representar en matrices en las que se observan los porcentajes de los cambios de estados:

Observe la representación gráfica de la matriz de transición utilizando nodos y conexiones.

Para la interpretación de la matriz de transición se puede enumerar las filas y las columnas. Para el caso del ejemplo, en la primera fila y columna, encontramos el número 0,3 lo que significa que la probabilidad de pasar del estado 1 al estado 1 es del 30% como se puede ver en la siguiente matriz.

En el ejemplo anterior, en el círculo, podemos observar el número 0.1, lo que significa que es la probabilidad de pasar del estado 2 (fila 2) al estado 3 (columna 3), con una probabilidad del 10 %.

Las ecuaciones planteadas por Chapman-Kolmogórov proporcionan métodos y ecuaciones para ir de un estado a otro en n pasos, en este caso, veremos la probabilidad de estar en estado i y pasar al estado j en un solo paso.

Le invitamos a ver un ejemplo práctico sobre la matriz de transición de un solo paso y la matriz de transición de varios pasos.

Material de apoyo

Vamos a explicar a través del siguiente ejemplo:

A un profesor de Ingeniería de la Universidad Militar le corresponde dictar clase en tres sedes: Campus Cajicá, Calle 100 y Chapinero, debe atender estudiantes en forma presencial, pero los estudiantes no siempre van, y con la necesidad de mejorar su movilidad decide utilizar las cadenas de Márkov para calcular la probabilidad de estar en una sede y desplazarse a otra y que tenga estudiantes que atender:

Si conocemos la matriz de probabilidades, ¿cuál es la probabilidad de que el profesor se encuentre en la sede del campus Cajicá y al día siguiente tenga que ir nuevamente a la misma sede?

Conozca la solución.

Ejemplos

Para comprender mejor este tema, revise los siguientes ejemplos:

• Ejemplo 1
• Ejemplo 2

Las cadenas de Márkov con vector de probabilidades los podemos definir formalmente de la siguiente manera:

Tenemos un vector de probabilidades iniciales denominado:

Entonces, si tenemos:

Si se tiene una matriz de transición

Y un vector de probabilidad

Por lo tanto

Revise algunos ejemplos prácticos.

Actividad de aprendizaje

Realice la siguiente actividad sobre matrices y gráficas de los modelos de transición.

En la vida cotidiana las personas encuentran líneas de espera (teoría de colas) en muchas actividades comunes, como, por ejemplo, realizando la fila para retirar dinero, en una terminal de transporte esperando abordar, o en una estación de Transmilenio esperando el bus o el alimentador.

Todas estas circunstancias comunes en la vida cotidiana o en el mundo industrial hace que sea necesario buscar mecanismos que permitan la administración y la optimización de las colas, empezando por entender el comportamiento, realizando deferentes análisis como son los tiempos de llegadas y tiempos de servicio, todo con el fin de mejorar los servicios y así mejorar la operatividad del sistema. Un buen manejo de las líneas de espera contribuirá en la rentabilidad de la compañía por medio de la reducción de costos asociados a las filas, así como mejorar los servicios, ya que una fila bien administrada supone en algunos casos reducción de tiempos (Abad, 2002).

Es por este motivo que se estudian las colas como un sistema, en donde interactúan diferentes variables como: la cantidad de clientes que llegan a un servidor(es) en función de tiempo, los servidores estaciones o dependientes son los encargados de ejecutar el fin por el cual los clientes están realizando la fila, la administración del sistema garantiza el servicio a prestar como tiempos en la fila, número de clientes atendidos, configuración del número de servidores, tamaños de las filas entre otros.

El modelo nació en 1909 y fue publicado por Agner Krarup Erlang, un matemático estadístico danés, el cual se centró en determinar el comportamiento de las llamadas telefónicas, calculando capacidades y número de servidores, desde allí numerosos autores han venido estudiando el comportamiento y realizando aplicaciones en otros sectores como, por ejemplo:

Una línea de espera se produce cuando un elemento (persona) se acerca buscando un servicio, posteriormente, el elemento servicio se retira del sistema, cuando se genera una cola se conocen como clientes, los cuales se encuentran esperando su turno para ser atendidos por un servidor.

Según José Pedro García Sabater, en su libro Aplicación de teoría de colas en dirección de operaciones, la teoría de cola tiene 6 componentes fundamentales:

1. Llegada de los clientes: los clientes llegan de manera aleatoria con una función que se conoce como distribución probabilística, los clientes pueden ser individuales o en grupo, en caso de que lleguen en grupo se define la función de probabilidad. En algunos casos los clientes pueden abandonar la fila, debido a diferentes factores como los tiempos de espera y tamaño de la cola.
2. Servicio de los servidores: los servidores atienden a los clientes con unos tiempos de servicio, puede existir uno a más servidores, los cuales pueden ser conocidos como instalaciones de servicio.
3. Disciplina de cola: se refiere a la forma como los clientes se ordenan en la fila para ser atendidos.
4. Capacidad del sistema: es el número de clientes que pueden acercarse a los servidores para ser atendidos, por ejemplo, los estudiantes de la Universidad Militar que se acercan a los torniquetes de entrada para ingresar al claustro.
5. Número de canales de servicio: hace referencia a la forma como se alimentan los servidores por medio de las filas.
6. Número de etapas de servicio: existen modelos de una sola etapa, este sistema se refiere a que las personas solo buscan un servicio y cuando lo optimen se retiran del sistema y multietapa.

Actividad de aprendizaje

Refuerce, a través de la siguiente actividad, los elementos del sistema de colas.

La notación de los sistemas los propuso David George Kendall quien contribuyó en el estudio de las líneas de espera. Kendall fue muy conocido por sus trabajos de probabilidad y análisis estadístico, introdujo los conceptos de líneas ley y líneas de espera.

En 1953 David Kendall propuso una notación para los sistemas de teoría de colas utilizando 3 parámetros.

En algunos casos la capacidad de sistema es infinita, la disciplina no está definida y la población es infinita, se utiliza una representación de tres letras debido a que las demás se omiten, sin embargo, una representación de seis letras, tendría la siguiente representación.

Material de apoyo

Las medidas de desempeño son los indicadores que permiten evaluar los sistemas y comprender el comportamiento de los parámetros a evaluar, para el caso de la teoría de colas o líneas de espera se puede realizar una clasificación de los indicadores más comunes son:

• Utilización: indica en términos de porcentaje la utilización de los sistemas, de esta manera se mide la saturación de los sistemas.
• Longitud: es un indicador de cantidad de personas que se encuentran esperando en una línea de espera o la cantidad de personas o clientes que se encuentran en un sistema.
• Tiempo: indica la cantidad de tiempo que los clientes o personas pasan en la fila o línea de espera, o la cantidad de tiempo que una persona permanece en el sistema.
• Probabilidad: indica la probabilidad de que una persona tenga que esperar en una cola, o la probabilidad de que el sistema se encuentre vacío, o de encontrar un cierto número de personas (Winston, 2005).

Material de apoyo

Los modelos de línea de espera M/M/1, según la notación Kendall, significa que se tiene un solo servidor, tiene unos tiempos de servicio con una distribución exponencial y una tasa de llegada con una distribución de Poisson. Esto quiere decir que los tiempos de llegada, como el tiempo de servicio son independientes, y se tienen distribuciones diferentes para la llegada y el servicio.

Las líneas de espera M/M1 son muy estudiadas por su baja complejidad y por su frecuencia en el mundo industrial, puede ser una máquina (servidor) esperando los productos para ser elaborados, generalmente, estos productos esperan (fila o cola) a ser procesados de acuerdo con unos criterios establecidos (disciplina de la cola) (Taha, 1998).

Veamos un ejemplo desarrollado en Excel sobre los modelo de líneas de espera M/M/S. Revíselo muy bien porque a continuación debe desarrollar un ejercicio.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos después de realizar el ejemplo de los modelos de líneas de espera M/M/S, ha desarrollar un ejercicio donde podrá aplicar lo aprendido en esta temática.

Las cadenas de Márkov nacen con conceptos basados en la probabilidad y estadísticas, las cuales se establecen en determinar sucesos o eventos que dependen de los eventos anteriores, y se fundan en el análisis de los procesos por medio de análisis de probabilidad conocidos como procesos estocásticos. Esta técnica fue diseñada por Andréi Márkov y se ha venido planteando en numerosos problemas como en la economía, la agricultura y la industria, por lo tanto, es muy común verla en la vida cotidiana. A nivel académico se ha investigado y desarrollado múltiples aplicaciones y modificaciones de los conceptos originales.

Márkov planteaba que existen procesos aleatorios los cuales son probabilísticos, donde se puede determinar la probabilidad de que sucedan, él le llamaba evento y de allí se puede establecer probabilidades de que ocurra un evento en el futuro.

Existen aplicaciones de la cadena de Márkov muy populares en los negocios, como son los comportamientos de conducto de los individuos analizados, estos individuos pueden ser negociadores, compradores, clientes, entre otros.

También, se establecieron los conceptos fundamentales de la teoría de colas, así como las características de las líneas de espera, se profundizó en la notación utilizada basándonos en las notaciones de Kendall. Se realizó una compilación de las medidas de desempeño más comunes y utilizadas con mayor frecuencia en el estado del arte para, posteriormente, resolver problemas planteados utilizando la notación y las medidas de desempeño.