La resolución de problemas de investigación de operaciones mediante la aplicación de los métodos gráfico y simplex permite observar el área de solución factible, dentro de la cual es posible hallar el valor máximo o mínimo y así encontrar la solución óptima deseada.

Estos métodos son útiles cuando los problemas a resolver cuentan con más restricciones que variables, pero cuando pasa lo contrario se debe recurrir a un algoritmo denominado método simplex dual, el cual se abordará en esta unidad.

Propósito general

Hallar una mejor utilización de los recursos mediante la dualidad y efectuar hipocresías con el análisis de sensibilidad.

Propósitos específicos

• Comprender la aplicación del método simplex dual en un problema de programación lineal.
• Solucionar problemas de maximización y minimización con el método simplex dual.
• Comprender los cambios que se pueden realizar en un problema de programación lineal mediante el análisis de sensibilidad.
• Apropiar el uso de herramientas informáticas para la solución de problemas de programación lineal.

El método simplex dual es un algoritmo matemático que permite aplicar la teoría según la cual la solución óptima de un problema de investigación de operaciones en procesos determinísticos está asociada a un punto extremo que está definido por las soluciones básicas de la forma estándar de un modelo de programación lineal. Este método se trabaja cuando existen más restricciones que variables y se busca una mejor asignación de recursos, ya que la optimalidad o solución debe ser igual así se usen métodos diferentes.

El método simplex dual trabaja con tablas llamadas iteraciones en las que se aplica la técnica de Gauss-Jordan que «es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas» (s. n., 2013).

Forma estándar Revise la forma estándar de un problema de programación lineal y de un problema de programación lineal dual.

En los problemas de programación lineal en los que la optimización hace referencia a la minimización se aplica el algoritmo que aparece en pantalla.

Es importante aclarar que para efectos de la maximización se toma el mismo algoritmo, cambiando únicamente la aplicación de Gauss-Jordan.

Ejemplo Conozca el desarrollo de un problema de minimización por medio del método simplex dual.

Material de apoyo

En este apartado se resolverá el mismo problema del apartado anterior, pero aplicando el método simplex dual.

Note que el método simplex dual se puede aplicar debido a que hay más variables que restricciones.

Min Z = 3X1 + 5X2 + 2X3

Sujeto a:

X1 + 2X2 + X3 ≥ 11

2X1 + 2X2 + X3 ≥ 16

X1, X2, X3 ≥ 0

Le invitamos a revisar la ampliación temática para ver el desarrollo del ejercicio.

El problema resuelto por el método simplex tenía n actividades con m recursos, mientras que la utilidad se representaba por el coeficiente C por unidad de la actividad i, y este recurso i poseía una disponibilidad máxima o mínima de bi, que se consumía a unos costos de ai por unidad de la actividad j.

En el problema resuelto por el método simplex dual la utilidad se representó por disponibilidad máxima o mínima de bi, que se consumía a unos costos de los coeficientes C por unidad de la actividad i.

Cabe anotar que para poder analizar e interpretar la dualidad se necesita que la solución encontrada en el modelo primal sea igual a la solución presentada en el modelo primal. El problema solucionado por el método simplex dual nos permitió hallar la solución del primal desde el dual.

A pesar de no quererlo, todo cambia con el paso del tiempo. Los costos suben o bajan; los recursos se encuentran por exceso o por defecto; las personas sobran o faltan, y al alterarse los costos los ingresos se modifican.

Lo mismo pasa con los recursos (materia prima, productos terminados, instalaciones, personal y dinero), lo cual repercute en que la solución óptima que se le da a un problema pueda cambiar a lo largo del tiempo debido a estos cambios.

A pesar de los cambios que pueda sufrir el modelo no resulta necesario volver a realizarlo desde el comienzo gracias al análisis de sensibilidad que permite obtener una nueva solución óptima a partir de los nuevos parámetros.

Antes de finalizar el estudio de este tema lo invitamos a revisar los ejemplos que se desarrollan en el esquema interactivo.

Videotest

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad que le permitirá poner en práctica los temas vistos hasta este punto.

El método simplex es un algoritmo repetitivo que permite mejorar la solución de una función objetivo en cada paso mediante la utilización de iteraciones o tablas. El proceso finaliza cuando es imposible mejorar el valor de la función objetivo, es decir que se ha encontrado la solución óptima que es el mayor o menor valor posible —maximización o minimización según sea el caso— con el que se satisfacen todas las limitaciones o restricciones.

Cuando el problema propuesto posee más variables que restricciones se dice que es un problema de inutilización de recursos que se puede subsanar con la aplicación del método simplex dual o dualidad.

La dualidad permite encontrar otro problema que posea propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, pues se puede presentar despilfarro de recursos debido a que hay más variables que limitaciones. Es para estos casos que existe el simplex dual.

Cuando se presenta un cambio en los recursos de un problema es posible utilizar el análisis de sensibilidad que es una herramienta que presenta cinco posibles escenarios en los que se puede presentar dicho cambio.

Esta herramienta se usa cuando por razones de costos o de tiempos resulta imposible volver a realizar todo el proceso de resolución, para tal fin se implementa el cambio en el último tablero y su solución óptima y a partir de allí se reparan, replantean o adicionan recursos.

Actividad de aprendizaje

Antes de culminar el estudio de esta unidad lo invitamos a revisar el siguiente caso de estudio.