En esta unidad se le permite al estudiante empaparse de la teoría que le permitirá construir el modelo matemático para la resolución de un problema de investigación de operaciones mediante la formulación de una función objetivo con dos variables sujeta a múltiples restricciones, y solucionarlo gráficamente para tomar la mejor decisión en el manejo adecuado de los recursos disponibles.

Propósito general

Apropiar los conceptos necesarios para el desarrollo de la investigación de operaciones y la programación lineal.

Propósitos específicos

• Apropiar los conceptos necesarios para el desarrollo de la unidad.
• Construir modelos matemáticos teniendo claridad acerca de la definición del problema, la recolección de datos, y la formulación y la solución del modelo, aplicando programación lineal.
• Desarrollar un problema de dos variables y cualquier número de restricciones por el método gráfico.

Un sistema se puede definir como un conjunto de elementos relacionados entre sí que funcionan como un todo o como la unión de cosas de manera organizada.

El concepto de sistema también se refiere a la forma como un conjunto de elementos llevan a cabo una función interactuando entre sí con un objetivo determinado. Algunos ejemplos son: sistema universitario, sistema de transporte, sistema informático, sistema numérico, etc.

La clasificación de un sistema depende de la persona que lo hace, del fin que se pretende y de los escenarios en los que se desenvuelve. Algunas de las clasificaciones más conocidas son:

• Según su interacción con el medio ambiente.
• Según su naturaleza.
• Según su origen.
• Según su cambio en el tiempo.

En la galería de fotos de esta pantalla podrá ver la descripción de estas clasificaciones.

Un modelo es un conjunto de acciones que representan una realidad de manera clara y manipulable, organiza las relaciones directas o indirectas de las variables que intervienen en él, es resultante de una acción causa-efecto y tiene que arrojar una descripción cuantitativa.

Existen varios tipos de modelos, como físicos, conceptuales, gráficos, entre otros, pero para efectos de esta asignatura se tendrán en cuenta los modelos matemáticos que son los que permiten evaluar las entradas y salidas de un sistema.

Para el estudio del tema de esta unidad se ampliarán dos tipos de modelos matemáticos: los determinísticos y los probabilísticos o estocásticos.

Modelos determinísticos

Son aquellos modelos en los que todas las variables son determinísticas. Esto quiere decir que todas las variables son conocidas, por lo que no hay lugar para la incertidumbre y por ello siempre se puede conocer su valor con exactitud.

De este tipo de modelos, se profundizará en dos: lineales y no lineales.

Modelos estocásticos

Se trata de un concepto matemático que sirve para determinar un proceso de variables aleatorias o probabilísticas (estocásticas); cada una de ellas con su propia función de distribución de probabilidad.

Haga clic sobre el ícono de los esquemas interactivos para ampliar la información sobre estos modelos matemáticos.

La investigación de operaciones es una disciplina científica moderna y cuantitativa que se aplica en la resolución de problemas relacionados con procesos de producción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. Esta metodología permite asignar de manera óptima los recursos escasos y apoyar de forma eficiente el proceso de toma de decisiones, procurando que estas sean significativamente mejores que aquellas decisiones que se toman cualitativamente.

Esta disciplina se alimenta del método científico para investigar la situación problema, es decir que el proceso inicia con la formulación y análisis del problema tomando los datos de cada variable real, luego se construye el modelo matemático para desglosar el problema real y formular una hipótesis de tal manera que las posibles soluciones del modelo se puedan validar en el problema real.

La investigación de operaciones no soluciona problemas, sino que brinda una orientación para la toma de decisiones con el fin de obtener resultados que muestran la efectividad del modelo. Por esto es inviable que una sola persona posea los múltiples conocimientos sobre el problema, sino que se requiere de un equipo multidisciplinar de expertos con conocimientos específicos cuyo trabajo redunde en una solución al problema.

Haga clic sobre el enlace para ver la forma en que se representan los modelos de investigación de operaciones.

En muchos escritos se indica que el desarrollo de la programación lineal se dio a mediados del siglo XX. Desde aquel entonces, esta herramienta matemática ha ahorrado millones de dólares a muchas compañías e incluso a países industrializados.

La programación lineal utiliza funciones lineales como función objetivo y sistemas de desigualdades lineales como restricciones. El termino «programación» no se refiere a la programación de computadores, sino a la planeación; así, la programación lineal es la planeación de actividades para obtener un resultado óptimo por medio de los métodos gráfico y simplex.

Material de apoyo

El método gráfico es la representación gráfica de la solución de un problema de programación lineal limitado, pues su número de variables debe ser menor o igual a dos. A pesar de esta circunstancia, el método gráfico es muy enriquecedor respecto a la interpretación de los resultados.

El método gráfico consiste en representar cada restricción del problema como una recta en un mismo plano cartesiano y encontrar el área de solución factible que da como resultado un polígono. A partir de un análisis trigonométrico de dicho polígono es posible encontrar en uno de sus vértices la mejor solución al problema (solución óptima). Dicha solución será un punto máximo o mínimo.

Para aplicar este método se utilizan variables artificiales que dependen del valor que tiene la desigualdad. Si es ≤ se deben utilizar variables artificiales de holgura; es decir que se utilizará la parte izquierda de la línea resultante de la desigualdad. Si por el contrario, es ≥ se utilizan variables artificiales de superávit, lo cual significa que se utilizará la parte derecha de la línea resultante de la desigualdad.

Haga clic sobre el ícono de los esquemas interactivos para ver dos formas de resolver problemas con el método gráfico.

Para resolver el método gráfico en un caso de maximización se deben aplicar los diez pasos del «algoritmo para resolver el método gráfico», pero se debe tener en cuenta que en la maximización el valor máximo se encuentra en el punto más alejado del vértice (0, 0) del plano cartesiano.

A manera de ejemplo, en el video que aparece en pantalla se desarrolla un ejercicio de aplicación del método gráfico en un caso de maximización, mientras que en el esquema interactivo se plantea una forma alternativa para resolver el mismo.

Para resolver el método gráfico en un caso de minimización se deben aplicar los diez pasos del «algoritmo para resolver el método gráfico», pero se debe tener en cuenta que en la minimización el valor mínimo se encuentra en el punto más cercano del vértice (0, 0) del plano cartesiano.

A manera de ejemplo, en el video que aparece en pantalla se desarrolla un ejemplo de la aplicación del método gráfico en un caso de minimización.

Actividad de aprendizaje

Antes de concluir el estudio de esta unidad lo invitamos a realizar la siguiente actividad que le permitirá reforzar algunos de los conceptos estudiados.

La investigación de operaciones es una rama de las matemáticas muy versátil, pues puede aplicarse en todos los ámbitos de las industrias y en muchas de las actividades cotidianas de la personas.

Para la aplicación de esta disciplina es necesario definir el problema (o entender lo que se presenta como problema) y para esto es posible apoyarse en la programación lineal, que permite optimizar recursos, determinar limitaciones (restricciones) y proceder a resolverlo.

Si el planteamiento del problema presenta una o dos variables se puede resolver por medio del método gráfico, el cual consiste en mostrar un área de solución factible en la que es posible hallar un máximo o un mínimo. Para tal fin se debe graficar cada restricción como una línea en el plano cartesiano hasta obtener un área de solución factible, en la cual se identifica un punto máximo o mínimo según sea el caso.

El método simplex permite evitar problemas al encontrar la optimización que se desea.

Estudio de caso

Haga clic sobre el enlace para acceder un ejercicio que deberá desarrollar a partir de un caso de la vida real.