En el mundo real diversos fenómenos aleatorios requieren de modelos teóricos para interpretar y representar su comportamiento. El papel principal de las distribuciones de probabilidad es precisamente modelar los diferentes observables en estudio para realizar inferencias que conduzcan a conclusiones y posibles decisiones frente al problema de interés.

En el estudio de las distribuciones de probabilidad es importante distinguir el tipo de variable que interviene en la situación analizada. En general, las variables estudiadas son aleatorias discretas o continuas, es decir, las que resultan de un conteo o de una medición respectivamente. La distribución de probabilidad como tal, corresponde a una función que designa a cada uno de los sucesos definidos sobre la variable aleatoria, la probabilidad de ocurrencia o no. Las probabilidades en las variables aleatorias se pueden establecer de manera acumulada o como un valor específico, esto depende de lo que se quiera analizar.

En esta unidad se consideran los conceptos de variable aleatoria y continua con el fin de introducir los modelos matemáticos para calcular las probabilidades en conjuntos de eventos o sucesos bajo condiciones específicas dependientes del problema del mundo real en análisis. En especial, los modelos matemáticos con los que se trabajan corresponden a las distribuciones mencionadas anteriormente tanto para la variable aleatoria discreta como para la continua. En cada una de estas no solo se da la función de distribución, sino además la media o valor esperado, la varianza y la desviación estándar.

Propósito general

Identificar los diferentes contextos en los que se pueden aplicar las distribuciones de probabilidad.

Propósitos específicos

• Establecer diferencias entre las distribuciones de probabilidad discreta y continuas.

• Reconocer las características asociadas a cada una de las distribuciones de probabilidad.

En las distribuciones discretas se encuentra la binomial, cuyo fin es describir el número de veces que ocurre un evento para un determinado número n de ensayos idénticos e independientes. Los posibles resultados son solo dos: éxito (E) o fracaso (F)y su respectiva probabilidad se determina como p para el éxito y q = (1 - p) para el fracaso, veamos el siguiente video.

El cálculo de la distribución de probabilidad binomial puede ser un tanto tedioso, para ello se disponen de diversas herramientas como tablas con probabilidades acumuladas o el uso de dispositivos electrónicos como calculadoras o computadores.

Microsoft Excel permite calcular la probabilidad binomial acumulada para diversos valores de la variable aleatoria binomial con un número n de ensayos, a continuación un ejemplo del mundo real en análisis.

Material de apoyo

La variable aleatoria de Poisson pertenece a una distribución de probabilidad discreta, considerada como un buen modelo para situaciones dependientes del tiempo o del espacio.

Por lo tanto, la variable aleatoria x depende del número de eventos dados en un intervalo temporal o espacial. Las únicas condiciones para aplicar esta distribución de probabilidades es que los eventos sean independientes. Es un buen modelo si el número de ensayos es grande y la probabilidad de éxito es pequeña. En general, se considera buena cuando n ≥ 20 y p ≤ 0.05 y muy buena si n ≥ 100 y p ≤ 0.01.

Al igual que la binomial y otras distribuciones de probabilidad es posible realizar su cálculo mediante tablas acumuladas que se encuentran en cualquier libro de estadística o mediante software como Microsoft Excel, Mathematica, Matlab, etc.

Las ventajas de aplicar como modelo la distribución de probabilidad de Poisson es la sencillez facilidad y precisión de sus cálculos en situaciones espaciales y temporales cuando el número de ensayos n es grande y el promedio muy pequeño.

Material de apoyo

En la práctica muchas veces resulta un poco complejo realizar pruebas con reposición o reemplazamiento (un elemento no puede aparecer dos veces en una muestra), para este tipo de situaciones se hace uso de la distribución hipergeométrica, la que tiene una fuerte aplicación en áreas asociadas al control de calidad y a la fabricación de piezas.

Propiedades de la distribución hipergeométrica

Al realizar un experimento con este tipo de distribución

1. Cada elemento puede caracterizarse como éxito o fracaso.
2. Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
3. El tamaño de la muestra aleatoria n es grande comparado con el tamaño de la población.
4. Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Con el fin de comprender mejor este tipo de distribución se presentan los siguientes ejemplos.

Material de apoyo

La distribución de probabilidad uniforme, es un método continuo bastante simple, en donde la variable aleatoria toma valores comprendidos entre los extremos de la distribución. Al generar intervalos se encuentra que para cada uno de ellos el valor de probabilidad es idéntico.

La variable aleatoria presenta una distribución uniforme continua, porque la función de densidad de probabilidad es constante dentro de un intervalo cerrado [x₁, x₂] y fuera de éste es nula, es decir, que la probabilidad de ocurrencia para cualquiera de los eventos dados es la misma.

El campo de aplicación de esta distribución de probabilidad no es muy amplio en comparación con otras distribuciones, sin embargo es útil para dar una introducción a las distribuciones de probabilidad continua.

Material de apoyo

La distribución normal también recibe el nombre de distribución gaussiana en honor a Karl Friedrich Gauss (1777-1855) determinando su expresión a partir del análisis de errores en varias mediciones de la misma cantidad o característica.

La distribución de probabilidad normal se expresa mediante la siguiente ecuación matemática:

Los números irracionales π, e corresponden aproximadamente a 3.1416 y 2.7183 respectivamente. Los parámetros µ y 𝜎 con 𝜎 > 0 son los valores de dispersión, es decir, la media o promedio y la desviación estándar de la población.

Es importante recordar que el área bajo la curva de probabilidad debe ser igual a 1, por lo tanto entre más variable sea el conjunto de observaciones se extiende más lejos y es de menor altura.

La curva de la distribución de probabilidad normal se ajusta a la regla empírica, esto es que casi todos los valores de la variable aleatoria normal se localizan en el intervalo µ± 3𝜎.

En el cálculo de la probabilidad se hace necesario estandarizar la variable aleatoria normal x, con el fin de facilitar la solución de las integrales de la densidad de probabilidad normal.

Esta distribución es considerada una de las más importantes en el campo de la estadística debido a sus innumerables aplicaciones, veamos otro ejemplo.

La distribución de probabilidad exponencial es útil para modelar el tiempo de espera entre eventos o hechos que llevan un proceso de Poisson. La distribución exponencial es un modelo no solo adecuado para evaluar el tiempo de espera entre sucesos dados en un proceso de Poisson sino también para distancias, volumen, aplicaciones de fiabilidad y teoría de supervivencia.

Una característica de esta distribución es que no tiene memoria. Es decir, un tiempo transcurrido hasta que sucede el evento no depende de lo que ocurrió antes de ese intervalo, estudiemos este ejemplo.

Actividad de aprendizaje

Pon a prueba lo aprendido y relaciona los conceptos de las diferentes distribuciones.

En una situación o problema práctico cuando se define el tipo de variable en estudio, se puede establecer la correspondiente distribución de probabilidad. En el caso de las variables aleatorias discretas se encuentran entre las más estudiadas la distribución binomial, la hipergeométrica y la de Poisson.