En la vida cotidiana se presentan diversas situaciones que están asociadas a los conceptos de “probablemente”, “existe la posibilidad de”, “es poco probable”, entre otros, que hacen referencia al azar, pues no se tiene la certeza de lo que sucederá.

Para comprender este tipo de situaciones existe una parte de la matemática denominada teoría de la probabilidad, la cual se encarga del estudio de los fenómenos aleatorios, que aunque se repite bajo las mismas condiciones iniciales no siempre lleva al mismo resultado.

Para comprender la teoría de la probabilidad se hace necesario conocer algunas técnicas de conteo, familiarizarse con los conceptos de experimento, experimento aleatorio, espacio muestral, entre otros. Entender la formalización axiomática de la probabilidad, sus principales propiedades y conocer los teoremas asociados a esta como el teorema de Bayes.

Propósito general

Propósitos específicos

• Utilizar las diversas técnicas de conteo en la solución de situaciones problema.

• Emplear las propiedades de adición y multiplicación de la probabilidad.

• Reconocer las características de la probabilidad condicional.
• Identificar las condiciones en las que se debe hacer uso del teorema de Bayes.

En diversos momentos de la vida cotidiana se presentan situaciones en las que resulta un poco complejo realizar un conteo de forma directa, para ello, existen las técnicas de conteo; un conjunto de métodos que permite determinar con facilidad el número de posibles arreglos de un conjunto de determinados elementos. Entre estas técnicas están:

• Las permutaciones
• Las combinaciones
• Los diagramas de árbol

Regla fundamental del conteo Si se tiene un conjunto con n elementos y otro con m elementos, existen 𝒏×𝒎 formas distintas de seleccionar un elemento que pertenezca al primer conjunto y otro que pertenezca al segundo conjunto.

Material de apoyo

Después de describir el conjunto datos mediante las herramientas dadas por la estadística descriptiva, se busca dar conclusiones respecto a las poblaciones. Para tal fin, se utiliza la probabilidad como herramienta de la estadística para evaluar la confiabilidad de las inferencias realizadas en la muestra y generalizadas a la población.

En general, las distribuciones de datos se obtienen a partir de las mediciones realizadas mediante la observación de situaciones no controladas o controlados bajo procesos de laboratorio. El proceso por el que se recopilan los datos se conoce como experimento. Existen dos clases de experimentos, los hay determinísticos o aleatorios.

El conjunto total de todos los posibles resultados o eventos del experimento, se conoce como espacio muestral(s). Los eventos o sucesos son subconjuntos del espacio muestral S, esto es, un subconjunto de datos posibles.

Sea A un evento definido sobre un espacio muestral S, la probabilidad de que ocurra A está dada por

Recuerde! La probabilidad nunca es negativa. La probabilidad nunca es mayor a uno. A continuación se presentan varios ejemplos de probabilidad.

En el cálculo de la probabilidad, los eventos cumplen con las operaciones entre conjuntos, tales como:

• La unión de los subconjuntos A y B del espacio muestral es: A∪B, es el evento A o B o ambos.
• La intersección de los subconjuntos A y B del espacio muestral es: A∩B, son los eventos A y B.
• El complemento de los subconjuntos A y B del espacio muestral es: A', es el evento no A. A' es el complemento de A, son los elementos que le faltan a A para ser el conjunto universal.
• La diferencia de los subconjuntos A y B del espacio muestral es: A - B, diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

La probabilidad que ocurran tanto A como B, equivale a la probabilidad que A ocurra por la probabilidad que ocurra B, dado que A ya ocurrió, esto es conocido como la probabilidad condicional(B|A). Así,

• A partir de esta expresión se puede definir entonces que:

  
  

  P(A\cap B)=P(A)P(B|A)

  
  

• Caso contrario, la probabilidad condicional P(A|B) de A dada la ocurrencia de B:

  
  

  P(B|A)=\frac { P(A\cap B) }{ P(A) } ,\quad P(B)\neq 0

  
  

En la probabilidad condicional se puede dar un caso especial en el que P(B|A)=\frac { P(A\cap B) }{ P(A) } ,= P(B), esto es la probabilidad que ocurra B sin ser afectada por la ocurrencia o no del evento A, lo cual establece que los eventos A y B en este caso se conocen como independientes.

• En el caso de analizar tres eventos independientes la probabilidad de ellos corresponde a:

  
  

  P(A_{ 1 }\cap { A }_{ 2 }\cap { A }_{ 3 })=P({ A }_{ 1 })P({ A }_{ 2 })P({ A }_{ 3 })

  
  

• A partir de la probabilidad condicional se puede establecer la regla de la multiplicación, veamos varios ejemplos de estos conceptos.

La probabilidad bayesiana es una alternativa de pensamiento lógico aplicado a una probabilidad subjetiva con base a juicios de valores, tal que se emiten posibles soluciones i en torno a una hipótesis en su antes y después. En la probabilidad condicional existe una forma especial para calcular probabilidades a posteriori.

La variable aleatoria corresponde al valor numérico que cambia o varía como resultado de un experimento aleatorio en particular.

• Variable aleatoria discreta.
• Variable aleatoria continua.

La variable discreta x se constituye de una serie de valores discretos x₁, x₂, x₃, ..., x_n asociando a cada uno de estos valores su correspondiente probabilidad P₁, P₂, P₃, ... P_n tal que la suma de todas las probabilidades es igual a 1, esto es la distribución de probabilidad discreta.

La media en un valor típico en la estadística descriptiva representa todos los datos de un conjunto. En la distribución de probabilidad discreta, este valor típico se conoce como valor esperado de la variable aleatoria x y corresponde al promedio de x o el valor que se espera observar en promedio para un experimento que se repite una y otra vez. También, este valor recibe el nombre de esperanza matemática que se simboliza como E(x).

El valor esperado o media de la variable aleatoria x establece el punto en torno al cual se centra la distribución de probabilidad, pero no suministra suficiente información para una descripción general del comportamiento de la distribución.

Por tal razón, una medida útil para analizar la variabilidad de una distribución de probabilidad es la varianza 𝜎.

Las variables aleatorias continuas corresponden a cantidades infinitas de valores en un intervalo dado.

Describir una distribución de probabilidades para la variable aleatoria continua es posible mediante un histograma de frecuencias relativas en donde al aumentar las clases es posible reducir la amplitud del intervalo, permitiendo así que el contorno del histograma sea menos irregular dando paso a una curva uniforme, tal como se muestra en el gráfico de esta pantalla.

Por lo tanto, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua se describe mediante una curva uniforme, en donde el área bajo la curva limitada por x₁ y x₂ equivale a 1.

En un experimento u observaciones, las distribuciones de probabilidad continuas presentan diferentes formas, por lo que el ajuste de la curva al conjunto de datos acumulados es de vital importancia para determinar el modelo adecuado que mejor la describa.

Actividad de aprendizaje

Juega Falso / Verdadero y evalúa tus conocimientos sobre probabilidad.

Al comprender la teoría de la probabilidad se hace necesario conocer algunas técnicas de conteo, familiarizarse con los conceptos de experimento, experimento aleatorio, espacio muestral, entre otros, entender la formalización axiomática de la probabilidad, sus principales propiedades y conocer los teoremas asociados a esta como el teorema de Bayes.

Por otro lado, la variable discreta x se constituye de una serie de valores discretos x₁, x₂, x₃, ..., x_n asociando a cada uno de estos valores su correspondiente probabilidad P₁, P₂, P₃, ..., P_n tal que la suma de todas las probabilidades es igual a 1, esto es la distribución de probabilidad discreta.

Por otro lado, la variable aleatoria continua es importante estudiarla ya que su distribución de probabilidad describe experimentos u observaciones. Estas presentan diferentes formas, por lo que el ajuste de la curva al conjunto de datos acumulados es de vital importancia para determinar el modelo adecuado que mejor la describa.