Conocer los conceptos de serie y sucesión, así como sus relaciones y diferencias; poder determinar si una serie o sucesión es convergente o no, y bajo qué condiciones es convergente en caso de serlo, resulta importante para el futuro profesional, toda vez que le permitirá visualizar procesos de una forma más reducida y obtener modelos que pueden ser extrapolados a diversos campos o a poblaciones más grandes.

Estos conocimientos serán muy útiles en el estudio de las matemáticas, la estadística, las ciencias administrativas y contables y, por supuesto, las ingenierías.

Al finalizar esta unidad los estudiantes estarán en condiciones de responder a las siguientes preguntas:

• ¿Cómo se obtienen las series y las sucesiones?
• ¿Qué diferencia una serie de una sucesión?
• ¿Cómo se determina la convergencia en una serie o en una sucesión?

Objetivo general

Distinguir sucesiones y series, identificar algunas series especiales y determinar la convergencia, o no, de una sucesión y una serie.

Objetivos específicos

• Identificar y manejar el concepto de sucesión.
• Identificar y manejar el concepto de serie.
• Determinar e identificar los tipos de series.
• Determinar la convergencia en las sucesiones.
• Determinar la convergencia en las series.

Muchas veces se presentan colecciones numéricas en las cuales se pueden identificar el primer y el último número, y sus cambios guardan una secuencia determinable. A esta esta definición se le conoce como sucesión.

En matemáticas, una sucesión es una función cuyo dominio son los números enteros positivos. Normalmente se denotan por variables consecutivas, en algunos casos iniciando desde uno y en otros, desde cero. Por ejemplo:

a₁, a₂, a₃..., a_n

a₀, a₁, a₂..., a_n

Estos números son conocidos como los términos de la sucesión, el término a_n es conocido como el termino n-ésimo (o término general) de la sucesión y la sucesión completa se denota como {a_n}.

En muchas ocasiones es importante determinar si una sucesión tiene algún punto final; es decir, si tiene un valor límite en sus términos. De igual manera, calcular dicho valor es importante para determinar aún más la sucesión.

Cuando los términos de una sucesión tienden a un valor o límite, se dice que dicha sucesión es convergente.

• Teorema 1.
• Teorema 2.

Material de apoyo

Toda sucesión tenderá a aumentar o a disminuir su valor en la medida en que ascienda o disminuya. Esta característica permite clasificar las sucesiones en crecientes o decrecientes, según sea el caso. Para entender la forma de calcular este tipo de sucesiones, se sugiere leer los teoremas 3, 4 y 5.

Una vez estudiados los teoremas 3, 4 y 5, haga clic sobre el enlace para ver los ejemplos que los demuestran.

Actividad de aprendizaje

Para poner en práctica lo aprendido, determine si la siguiente sucesión es creciente, decreciente o si no es monótona.

Una sucesión es acotada si y solo si tiene una cota superior y una cota inferior. Todo conjunto de números reales que tenga una cota inferior tendrá una máxima cota inferior y si tiene una cota superior también tendrá una mínima cota superior, a esto se le conoce como axioma de completez.

Según lo anterior, toda sucesión monótona acotada es convergente.

Una sucesión acotada siempre tendrá un límite finito para el calculo del límite de la sucesión —independiente de si es creciente o decreciente— aunque el acotamiento en sucesiones normalmente se toma como la convergencia de una sucesión.

Teorema 6

Sea {a_n} una sucesión creciente, y suponga que D es una cota superior de esta sucesión, entonces {a_n} es convergente y:

Si {a_n} es una sucesión decreciente, y suponiendo que C es una cota inferior de esta sucesión, entonces {a_n} es convergente y:

Material de apoyo

Partiendo de una sucesión u₁, u₂..., u_n..., se forma una nueva sucesión {s_n} sumando los elementos de la sucesión {u_n}, así:

s₁ = u₁

s₂ = u₁ + u₂

s₃ = u₁ + u₂ + u₃

Hasta: s_n = u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + ... + u_n

De acuerdo con lo anterior, una serie es una sucesión que se forma a partir de la suma de los términos de otra sucesión. Para entender mejor esta noción, observe los siguientes teoremas:

• Teorema 7.
• Teorema 8.

Para demostrar los teoremas 7 y 8, haga clic sobre el enlace para ver dos ejemplos que los demuestran, y para finalizar observemos el teorema 9.

Se denomina serie geométrica a una serie infinita de la forma:

La serie geométrica converge a la suma a/(1-r) si | r | < 1, y diverge si | r | ≥ 1.

En el siguiente enlace encontrará los teoremas 10, 11 y 12, mientras que en la siguiente interactividad podrá ver tres ejercicios de aplicación de estos teoremas.

La necesidad de determinar la convergencia o divergencia de las series es uno de los aspectos a resolver en esta unidad. Por esta razón examinaremos dos criterios de convergencia de series que permiten determinarlas o concluirlas, en algunos casos en forma parcial y en otros, en forma definitiva.

Dichos criterios son las series tipo p — también llamadas p-series — y el criterio integral, que es una manera de determinar la convergencia usando la integral.

Teorema 13. El criterio integral

Si f es positiva, continua y decreciente para x>1 y a_n=f(n), entonces (1) y (2) convergen o divergen simultáneamente.

(1)
(2)

Las p-series son exponenciales de la forma:

Donde para p=1 se genera la serie armónica.

• Teorema 14.

Actividad de aprendizaje

La siguiente actividad de emparejamiento le permitirá poner en práctica los conceptos estudiados hasta este punto.

Cuando se usan diferentes criterios en la comparación de series resulta difícil su comparación, de ahí que sea necesario establecer nuevas formas de comparación que funcionen en estos casos.

Para tal fin, se deben tener en cuenta dos criterios importantes que son: el de comparación directa y el de comparación en el límite, los cuales permiten determinar la convergencia —como su nombre lo indica— por comparación entre series con similar conformación y de las cuales conocemos convergencia o divergencia.

El criterio de comparación directa compara dos series en forma directa, específicamente término a término para determinar la convergencia o divergencia de la serie.

Por su parte, el criterio de comparación en el límite —también conocido como criterio de comparación asintótica— utiliza las propiedades del límite para determinar la convergencia o divergencia de las series.

En tal sentido, la siguiente interactividad expone un teorema y un ejemplo de cada uno de estos criterios. Haga clic sobre el enlace para acceder al contenido.

Son series que tienen términos positivos y negativos alternados en el signo, es decir: positivo, negativo, positivo, etc.

Como ejemplo tenemos la serie:

Donde el término (-1)ⁿ constituye el alternante para el signo.

Teorema 17. Criterio de series alternadas

Si a_n > 0, las series alternadas:

Convergen siempre que se satisfagan estas dos condiciones:

1. 

2. , para todo n

En el siguiente vínculo encontrará el teorema 17, el cual se explica detalladamente en el siguiente video.

Entre las series alternadas existen dos parámetros que es importante tener en cuenta, uno es el resto de una serie alternada y el otro es la convergencia absoluta y condicional en una serie alternada.

Estos criterios o parámetros nos permiten entender y analizar, de una manera más detallada, las series alternadas o alternantes, por lo cual se recomienda hacer clic sobre cada uno de ellos para ampliar su información.

En este apartado analizaremos otros dos criterios para determinar una convergencia —específicamente una convergencia absoluta— y series de potencias. Estos criterios son:

Criterio del cociente

Es denominado de esta manera debido a que para determinar la convergencia de la serie usa el cociente entre la serie y su límite. Haga clic sobre el enlace para conocer el teorema y un ejemplo que explican el criterio del cociente.

Criterio de la raíz

Se utiliza para analizar la convergencia o divergencia de series con potencias n-ésimas. Haga clic sobre el enlace para conocer el teorema y un ejemplo que explican el criterio de la raíz.

Muchas de las funciones polinómicas se pueden aproximar usando funciones elementales, de tal manera que para hallar una función polinómica P que se aproxime a otra función f, se empieza eligiendo un numero c en el dominio de f en el que P tomará el mismo valor, es decir:

P(c)=f(c), donde las gráficas de f y P pasan por (c, f(c)). Y se dirá que la aproximación polinómica está centrada en c.

Ejemplo

Dada una función f(x)=e^x, hallar un polinomio de grado uno: P₁(x)=a₀+a₁x, cuyo valor y pendiente en x=0 coincidan con los de f.

Solución

Si f(x)=e^x, entonces f'(x)=e^x y los valores de f y su pendiente para x=0 son: f(0)=1, y f´(0)=1.

Usando la condición según la cual P₁(0)=f(0) concluimos que a₀=1. Además como P₁(x)=a₁, luego P₁(0)=f'(0), entonces: a₁=1y P1(x)=1+x, como se ilustra en la gráfica de la derecha.

Estos polinomios manejan coeficientes específicos y derivadas de orden superior con la mezcla del factorial. Son denominados así en homenaje a sus autores, los matemáticos británicos Brook Taylor y Colin Maclaurin.

Teorema 22. Definición de los polinomios de Taylor y Maclaurin

Si f tiene n derivadas en c, el polinomio:

Se llamará polinomio de Taylor de grado n de f en c. Si c=0, entonces:

Se llamará polinomio de Maclaurin de grado n de f.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo que demuestra el teorema 22.

Conocer la magnitud del error en un método de aproximación permite medir la precisión del método. En el caso del polinomio de Taylor, se usa el resto R_n(x), definido como:

f(x)=P_n(x)+R_n(x), de tal forma que: R_n(x)=f(x)-P_n(x), donde el error será el valor absoluto de R_n(x):

Teorema 23. Teorema de Taylor

Si una función f es derivable hasta el orden n+1 en un intervalo I que contiene a c, entonces para cada x en I existe un z entre x y c, tal que:

Donde:

Para n=0 el teorema de Taylor se convierte en el teorema del valor medio.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo que demuestra el teorema de Taylor.

Como su nombre lo indica, las series de potencias son series con base en la sumatoria de elementos de potencias. Este es uno de los procedimientos más utilizados en matemáticas, pues permite la conformación de funciones polinómicas diversas. Se usa de diversas formas para conformar funciones y para obtener derivadas e integrales de una manera más sencilla.

Los parámetros más destacados en estas series son: el radio e intervalo de convergencia de la serie y la derivación e integración de estas series, pues conforman funciones polinómicas muy conocidas y utilizadas.

• Teorema 24.

Toda serie de potencias en x se puede ver como una función de x. Entonces:

Donde el dominio de f son los x para los cuales la serie converge. En general, toda serie de potencias converge en su centro c.

El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie converge solo en c, el radio de convergencia será: R=0, y si converge en toda la recta real, el radio de convergencia será: R=∞.

El conjunto de todos los valores de x en los que la serie de potencias es convergente constituye el intervalo de convergencia de esa serie de potencias.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo del teorema 25.

Las series son funciones que, al igual que las ya analizadas, pueden tener diversos parámetros y características comunes con las funciones polinómicas normales.

• Teorema 26

La importancia de los temas vistos en esta unidad radica en que las sucesiones y las series se constituyen en: una forma de calcular valores de integrales; una manera de solucionar diversos problemas económicos, y una de las formas de ver la continuidad o discontinuidad de los procesos en ingeniería.

Calcular el valor de una sucesión aritmética para un determinado término o términos, sumar los n primeros términos de una sucesión o una serie, hallar el límite de una sucesión y determinar su convergencia o divergencia, son aspectos que merecen la atención de los profesionales de diversas disciplinas, en las cuales existen muchos campos de aplicación de estos procesos.

Conocer diversos métodos de análisis es la manera más apropiada para poder afirmar con certeza la convergencia o divergencia de una serie, ya que no existe un único método que permita hacerlo con seguridad o que pueda aplicarse en todos los casos.