La integración se desarrolla mediante diferentes métodos y cada uno de ellos se puede emplear de acuerdo con las circunstancias del problema a solucionar. Entre estos métodos se destacan la integración por partes, la sustitución trigonométrica, las fracciones parciales y la integración impropia.

No se debe olvidar la importancia de la integración de funciones básicas, la cual ayuda a solucionar problemas en los cuales se aplican, en forma combinada, las técnicas de integración y los conceptos matemáticos y geométricos necesarios para obtener el resultado esperado.

Al finalizar el curso, los estudiantes estarán en condiciones de responder a las siguientes preguntas:

• ¿Cuáles son los métodos básicos de integración?
• ¿Cómo se integra por partes?
• ¿Cómo se calculan las integrales de funciones trigonométricas y cómo se aplica la sustitución trigonométrica en la integración?
• ¿Cómo se trabajan las fracciones parciales en integración?
• ¿Qué son y cómo se trabajan las integrales impropias?

Objetivo general

Aprender a solucionar ejercicios y problemas de reglas básicas de integración mediante la formulación de modelos matemáticos.

Objetivos específicos

• Aprender y aplicar las reglas básicas de la integración.
• Entender y aplicar la integración por partes.
• Aplicar la integración a funciones trigonométricas.
• Aplicar la integración por sustitución trigonométrica.
• Entender y aplicar fracciones parciales.
• Entender y aplicar el concepto de integrales impropias.

La antiderivación —también conocida como integración— tiene unas reglas básicas bajo las cuales se puede calcular cualquier integral. Siguiendo estas reglas y las técnicas que se presentarán a continuación, usted podrá realizar este proceso.

Para lograrlo, iniciaremos con la integral de una constante y abordaremos las funciones más conocidas, como: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas, sin descartar algunas funciones de carácter y aplicación especial en la ingeniería y sus campos de aplicación.

Integrales básicas

Haga clic sobre el enlace para conocer las integrales básicas del proceso.

Actividad de aprendizaje

Haga clic sobre el enlace para acceder a una actividad que le permitirá afianzar sus conocimientos sobre las integrales básicas.

La integración por partes es un método de sustitución de funciones en el cual se utiliza la derivación como herramienta de integración.

Debido a lo difícil que puede resultar la solución de integrales complejas mediante el uso de métodos convencionales o de sustitución de variables, se suele utilizar un sistema más elaborado y metódico llamado integración por partes, el cual facilita la solución de este tipo de integrales.

El método que se muestra a continuación permite solucionar integrales gracias a la combinación de la integración y la derivación, lo cual simplifica el proceso en comparación con otros métodos de integración.

Teorema de integración por partes

Haga clic sobre el enlace para ver el desarrollo de un ejemplo de este teorema.

Así como las funciones trigonométricas pueden solucionarse mediante el uso de integrales, como vimos anteriormente, las integrales trigonométricas involucran operaciones con las funciones trigonométricas básicas. En este proceso se presentan las potencias de funciones trigonométricas como productos de las funciones seno y coseno; a su vez, estas presentan tres casos que varían si el exponente es positivo, par o impar.

Entre las integrales trigonométricas se encuentran las de funciones de orden mayor o igual a dos, como seno cuadrado. Estas se resuelven de acuerdo con diversas combinaciones conocidas como casos de integración para las integrales trigonométricas. Haga clic sobre el enlace para acceder a una interactividad que expone los nueve casos de este tipo de integración.

Actividad de aprendizaje

A partir de los casos estudiados resuelva la siguiente integral trigonométrica.

Una de las técnicas más comunes de integración es la sustitución o el cambio de variables. En algunos casos, estas sustituciones requieren el uso de funciones trigonométricas y es entonces cuando se presentan tres casos específicos donde a>0. A continuación se presentan estos tres casos, haga clic sobre cada uno de ellos para acceder a su respectiva descripción:

1. Caso 1

   

2. Caso 2

   

3. Caso 3

   

La sustitución trigonométrica es una de las formas más usadas para reducir y evaluar integrales que resulta difícil solucionar por otros medios debido a que tienden a presentar inconsistencias de continuidad o tendencia hacia el infinito.

Para solucionar algunas integrales se hace necesario aplicar métodos algebraicos de reducción, entre los cuales se destaca la expansión en fracciones simples o parciales que, a su vez, es el inverso de la adición o sustracción de fracciones.

El método de fracciones simples o parciales permite aplicar procedimientos de reducción algebraica para poder luego aplicar métodos de integración más simples y obtener la solución a los ejercicios propuestos. Este método se caracteriza por favorecer el orden del proceso y el manejo cuidadoso de los signos.

Para entender más sobre obtención o expansión en fracciones parciales, haga clic sobre el enlace para conocer el proceso mediante el cual se solucionan este tipo de integrales.

Haga clic aquí para ver un ejemplo de la forma en que se resuelven integraciones por fracciones parciales.

Material de apoyo

Las diversas formas, métodos y estrategias de integración estudiadas en esta unidad permiten solucionar integrales básicas, con exponentes, con logaritmos, trigonométricas y especiales.

Entre estos métodos se enfatizó en la integración por partes y los métodos de sustituciones especiales, pues a partir de estos mecanismos el estudiante podrá resolver diferentes tipos de ejercicios y problemas propios de los campos de aplicación de la ingeniería, de las matemáticas y de otras ciencias aplicadas.

Es importante recordar que los métodos de integración, tal como se estudió en esta unidad, involucran integrales de funciones básicas, de constantes, de funciones trigonométricas y de fracciones parciales.