En esta unidad se desarrollará una metodología, paso a paso, que permita hacer inferencias sobre un parámetro muestral mediante el análisis diferencial entre los resultados observados y, de esta manera, disponer de una sólida fundamentación conceptual para realizar, apropiadamente, una evaluación y sustentación a una decisión.

Objetivo General

Construir pruebas de hipótesis estadísticas con muestras grandes o pequeñas y con los valores de los parámetros poblacionales de interés para el ingeniero o científico.

Objetivos Específicos

• Manejar las pruebas para muestras grandes en una y dos poblaciones.
• Comprender y aplicar las pruebas para muestras pequeñas en una y dos poblaciones.

Muchas veces el ingeniero o científico no necesita la estimación del parámetro poblacional, sino más bien una metodología para tomar una decisión que se base en evidencias (datos). Por ejemplo, un ingeniero tendrá que decidir sobre la muestra, si hay una diferencia entre la precisión de dos tipos de medidores.

Consulte algunos conceptos relacionados con una hipótesis estadística.

Una prueba de hipótesis consta de cinco partes:

• Planteamiento de la hipótesis nula H₀ = μ
• Planteamiento de la hipótesis alternativa H₁ ≠ μ
• Prueba estadística y su valor p
• Establecimiento de la región de rechazo
• Conclusión

Consulte dos ejemplos de formulación de una hipótesis.

En este caso se trabajará la distribución normal y el estadígrafo que me permitirá aceptar o rechazar la hipótesis nula será:

Se establecerá, según el tipo de prueba (unilateral o bilateral), un nivel de significancia; si por ejemplo es unilateral derecha se tendría esta gráfica.

Consulte dos ejemplos de hipótesis con varianza poblacional conocida.

Si se tiene una variable aleatoria que representa una distribución normal con μ y σ desconocidas, entonces la variable aleatoria tiene una distribución t de student con n-1 grados de libertad. La estructura es igual que la anterior, excepto que el valor de σ se reemplaza por la desviación estándar muestral s y la distribución normal estándar se sustituye con la distribución t. El estadístico a emplear es:

Si se formula una hipótesis bilateral, el gráfico será.

Consulte un ejemplo de hipótesis con varianza poblacional desconocida.

Es fácil comprender que la relación entre las pruebas de hipótesis e intervalos de confianza y las pruebas con respecto a dos medias, constituyen una herramienta muy importante para el ingeniero o científico, ya que permiten comparar procesos. Si se tienen dos muestras aleatorias independientes de tamaño n₁ y n₂, de dos poblaciones con medias y varianzas , la variable aleatoria tiene una distribución normal estándar con n₁ y n_2, suficientemente grande. El estadístico es:

Consulte un ejemplo de hipótesis con varianza poblacional conocida dos poblaciones.

En la práctica, las varianzas poblacionales generalmente no se conocen, motivo por el cual si se tienen dos poblaciones que se comportan de forma aproximadamente normal y se asume que la variabilidad entre ambos grupos es similar, se puede utilizar la prueba t combinada (prueba t de dos muestras). El estadístico de prueba es:

Consulte un ejemplo de hipótesis con varianzas poblacionales desconocidas asumiendo que son similares.

En muchas situaciones el investigador no puede suponer que . En tal caso, el estadístico es:

Con distribución t para:

Grados de libertad.

Consulte un ejemplo de hipótesis con varianzas poblacionales desconocidas asumiendo que son diferentes.

Como ya se ilustró en la unidad anterior, se requiere investigar la proporción de algún atributo en una muestra (variables cualitativas). La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones y está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial. Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.

Consulte un ejemplo de hipótesis para la proporción en una población.

Con bastante frecuencia se necesita probar hipótesis de proporciones comparando dos grupos. En tal situación el estadígrafo es:

Consulte un ejemplo de hipótesis para la proporción en dos poblaciones.

Si se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal con media µ y varianza σ², y se calcula la varianza muestral, se obtiene el valor del estadístico s² que se utilizará para conocer la σ², mediante una variable aleatoria chi cuadrada con “n-1” grados de libertad. Formalizando con el siguiente teorema: si s² es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño “n” que se toma de una población normal que tiene varianza σ², entonces el estadístico:

Tiene una distribución chi cuadrado con v= n-1 , grados de libertad.

Consulte un ejemplo de hipótesis para la varianza.

En la presente unidad se describieron las pruebas de hipótesis para: medias y varianzas en variables cuantitativas y pruebas para las proporciones en variables con aplicaciones en ciencias e ingeniería.