La información que varía según las necesidades o factores como los climáticos, ambientales o sociales son la principal variable de análisis en el momento de realizar inversiones o acceder a créditos financieros. Por lo tanto, el conocimiento y manejo de estos conceptos es de vital importancia y cada uno de ellos se puede modelar usando una función. Haciendo de ella una de las armas más poderosas del arsenal matemático para el estudio de las ciencias económicas.

Propósito general

Comprender el concepto de función matemática aplicado al área de la economía, contemplando ejemplos que se modelan con ecuaciones lineales, cuadráticas o exponenciales.

Propósitos específicos

• Utilizar las funciones lineal, cuadrática y exponencial para dar solución a diversos problemas.
• Reconocer contextos específicos en los cuales se hace importante conocer las características de las funciones lineal, cuadrática y exponencial.
• Analizar la representación visual de las funciones comprendiendo las implicaciones de su comportamiento gráfico.

Una función es una relación entre dos conjuntos numéricos A y B, en donde a cada elemento de A le corresponde únicamente un elemento de B:

f:A\to B

Conozca las diferentes formas de representar una función.

Ejemplo

En una empresa compran una máquina fotocopiadora en $3 300 000 y por cada año de uso se deprecia $360 000. La relación se da entre dos conjuntos: años de uso (números reales positivos) y costo de la máquina (números naturales):

f:~\mathbb{N}\to {{\mathbb{R}}^{+}}

Tenga presente el ejemplo anterior, a partir de este, se desarrollarán algunos ejercicios planteados en esta unidad.

Existen dos tipos de variables que se pueden relacionar mediante las funciones, estas son: la variable independiente y la variable dependiente.

Variable independiente

Simbolizada generalmente con la letra X, se revela al inicio de un experimento porque la manipula el diseñador del problema o es difícil de manipular. Variables como la temperatura (la manipula el diseñador) o el tiempo (es imposible de manipular) en la mayoría de los casos son independientes.

Ejemplo

En el estudio que hemos trabajado sobre la fotocopiadora se reconocen dos variables: años de uso y costo de la máquina, tomando como punto de partida la definición expuesta anteriormente, la variable independiente sería los años de uso, puesto que es algo que no controla la persona que compró la máquina, simplemente pasan.

Variable dependiente

Simbolizada generalmente con f(x), se da como resultado del experimento realizado por el diseñador.

Ejemplo

En el estudio que se ha tratado se reconocen dos variables: años de uso y costo de la máquina, tomando como punto de partida la definición expuesta anteriormente, la variable dependiente sería el costo de la máquina porque se da como resultado del tiempo de uso (depende del tiempo que transcurra).

Una vez concretados los conceptos de variable independiente y variable dependiente se les relaciona el dominio y el rango respectivamente, esto para dar respuesta a la pregunta: ¿qué valores puede tomar cada una de las variables?, analicemos:

El dominio

El dominio de una función está conformado por los elementos del conjunto A que tienen una imagen en el conjunto B, es decir, los valores de x para los que se les puede calcular una imagen f(x).

El rango

El rango, por otra parte, está conformado por los elementos del conjunto B que son imagen del conjunto A, es decir, los valores que toman las imágenes de la función.

Revise los siguientes ejemplos del dominio y rango de una función.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad sobre dominio y rango de una función.

Las funciones tienen diferentes características, entre ellas el crecimiento (como se observa en el gráfico de pantalla), donde se notan tres movimientos diferentes, es por esto que se habla del crecimiento en intervalos.

Función creciente

Sea {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R} y {{x}_{1}}<{{x}_{2}}, una función f es creciente en un intervalo I, si f\left({{x}_{1}}\right) < f\left({{x}_{2}}\right).

Revise el ejemplo 1 y el ejemplo 2 planteado para la función creciente.

Función decreciente

Sea {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R} y {{x}_{1}}<{{x}_{2}}, una función f es decreciente en un intervalo I, si f\left({{x}_{1}}\right) > f\left({{x}_{2}}\right).

Revise un ejemplo de la función decreciente.

Funciones constantes

Las funciones constantes tienen la forma algebraica y=k o g\left( x \right)=k, en donde k\in \mathbb{R}, en otras palabras, una función es constante si esta igualada a un número real.

Revise un ejemplo de funciones constantes.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad donde podrá evidenciar el comportamiento de una función.

La modelación matemática es un proceso que consiste en expresar, en lenguaje matemático, situaciones que se presentan en diferentes contextos. Específicamente, para las ciencias económicas conocer las características de tres tipos de funciones se hace indispensable, estas funciones son: lineales, cuadráticas y exponenciales.

Para profundizar en cada una de las funciones es necesario reconocer rápidamente la representación gráfica para su posterior análisis (ver el gráfico de pantalla), donde podrá ver una aproximación a las gráficas de cada una de las funciones en su forma más simple.

Función lineal

Una función es una relación de proporcionalidad directa en la que se relacionan dos variables (una dependiente de la otra) las cuales, comúnmente, se notan como (x, y). Conozca los sistemas de representación de la función lineal.

Función cuadrática

La representación visual de una función cuadrática se llama parábola y posee los siguientes elementos.

Revise el siguiente ejercicio que resume lo visto en los elementos de la parábola.

Función exponencial

La función exponencial tiene la forma:

f\left( x \right)={{a}^{x}}, con a>0 y a\ne 1

Es decir, toda aquella función que tenga la variable en el exponente es considerada exponencial. Conozca las características de la función exponencial.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad sobre los sistemas de representación de la función.

Las temáticas que se han propuesto a lo largo de este instrumento tienen como finalidad comprender los procedimientos que se utilizan en las ciencias económicas para obtener resultados.

A continuación, se analizan dos casos diferentes en los cuales se utilizan las funciones para dar solución a situaciones específicas de esta ciencia.

Interés compuesto

El primer caso tiene que ver con el interés compuesto, le invitamos a revisar el siguiente ejercicio.

Optimización

La razón de cambio favorece procesos de optimización en diferentes ámbitos de la vida cotidiana, puesto que otorga información sobre máximos y mínimos en, por ejemplo, materiales a utilizar o productividad, lo que genera una fuerte aplicabilidad en las empresas.

Revise en el siguiente ejemplo numérico la explicación del proceso de optimización.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar la siguiente actividad utilizando la calculadora.

Material de apoyo

En esta unidad presentamos una noción aproximada al concepto de función, mostrando sus sistemas de representación y las ventajas que tiene el utilizar cada una de estas, adicionalmente, las actividades de autoaprendizaje plantean dinámicas que favorecen el proceso del estudiante, ayudándolo a realizar una retroalimentación en cuanto a las diversas formas en las que puede presentarse una función.

Vimos los factores que intervienen en las funciones, tales como: variable independiente, variable dependiente, dominio y rango y crecimiento, puesto que son importantes cuando se desea utilizar esta temática para solucionar situaciones problema.

Finalmente, se clasifican las funciones en tres grupos: lineales, cuadráticas y exponenciales, para el desarrollo de las temáticas se plantean ejemplos en los que se ve la aplicación de los ejercicios trabajados.

Actividad de aprendizaje

Finalmente, le invitamos a desarrollar la última actividad que le permitirá encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva.