La lógica es un método de pensamiento en el cual se relacionan sucesos que se despliegan de manera coherente y es un procedimiento que se debe poner en práctica con cualquier situación que se presente en la vida cotidiana, cobrando gran importancia en el ámbito empresarial, puesto que, el predecir sucesos es el resultado de evaluar una serie de hechos pasados.

Para desarrollar un pensamiento lógico se hace necesario conocer algunos conceptos y algunas reglas que se presentan en este contenido y son la base para potenciar este proceso.

Una rama de la lógica matemática es la teoría de conjuntos, teoría que estudia la relación entre los conjuntos, específicamente para esta unidad, los conjuntos numéricos, enunciando axiomas los cuales son el punto de partida para la creación y demostración de teoremas, la notación, las operaciones y las aplicaciones de esta temática en situaciones cotidianas.

Propósito general

Adquirir un nivel de conocimientos básicos de la lógica matemática y de la teoría de conjuntos, los cuales le han de servir como herramienta indispensable en el desarrollo y comprensión de cursos superiores, que requieran evocar algún componente matemático.

Propósitos específicos

• Reconocer y caracterizar los elementos básicos de la lógica y de la teoría de conjuntos.
• Identificar los tipos de conjuntos y algunas operaciones entre ellos.
• Aplicar la teoría de conjuntos en la solución de situaciones problema.

La lógica es un razonamiento o un método de pensamiento en el cual se expresan sucesiones de ideas o de hechos que se despliegan de manera coherente.

En matemáticas, la lógica se utiliza con el fin de justificar los procesos matemáticos que se requieran para la solución de situaciones problema propias del área de conocimiento y de contextos reales. Para realizar este proceso es necesario modelar cada una de las situaciones en lenguaje matemático y, para esto, se usan los llamados conectores lógicos.

Del lenguaje cotidiano a la lógica

Habitualmente las personas se comunican entre sí, proporcionando argumentos con juicios de valor de las diferentes actividades que se viven día a día.

El lenguaje es preciso y claro en cuanto a las reglas que tiene estipuladas, por esto, en el transcurso de esta unidad se llamarán proposiciones a todas aquellas oraciones simples que se piensan/pronuncian a diario y se les puede designar un juicio de valor (verdadero o falso).

Revise algunos ejemplos.

Conectores lógicos

Existen palabras que se emplean en la lengua castellana para enlazar dos oraciones o ideas, a estas se les llama conectores. En lógica, se utilizan generalmente cuatro conectores que se llaman lógicos, puesto que de estos depende el valor de verdad que puede tomar la unión de dos proposiciones.

Lógica booleana

En 1987 George Boole publicó el primer trabajo en el que formalizaba el “álgebra booleana”, que es una estructura que tiene sus bases en los conectores lógicos descritos anteriormente y que relacionaba las operaciones entre conjuntos (unión, intersección y complemento) con algunos conectores lógicos (y, o, o exclusiva, no). Boole enlazó sus conocimientos lógicos con los algebraicos: tomó dos proposiciones y, según su valor de verdad, les designó “0” o “1”, después, aprovechando las leyes de Morgan, dedujo las tablas de verdad.

Conozca las Operaciones lógicas básicas.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar las siguientes actividades relacionadas con los conectores lógicos y las tablas de la verdad con Geogebra.

La Real Academia Española define conjunto como la “totalidad de los elementos o cosas poseedores de una propiedad común, que los distingue de otros”.

Los conjuntos en matemáticas

El uso de la palabra “conjunto” no es diferente a la empleada en el lenguaje cotidiano, pues, centralizándonos en el área de conocimiento matemático, conjunto es la “totalidad de los entes matemáticos que tienen una propiedad común”. Se usan las letras mayúsculas para referirse a los conjuntos a trabajar y se pueden expresar por comprensión (escribir la característica que cumplen todos los elementos del conjunto) o por extensión (escribir todos los elementos).

Revise el siguiente ejemplo.

Operaciones entre conjuntos

Si se cuenta con dos o más conjuntos se pueden obtener nuevos conjuntos con la ayuda de las operaciones, entre ellas: unión, intersección, diferencia, complemento, diferencia simétrica, entre otras.

Conozca las operaciones entre conjuntos.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a realizar las siguientes actividades relacionadas con las operaciones entre conjuntos y la unión e intersección entre conjuntos utilizando Geogebra.

Las temáticas planteadas anteriormente se utilizan para solucionar situaciones que cotidianamente se presentan. A continuación, podrá ver algunos casos en donde se puede aplicar lo estudiado.

Solución de problemas usando la lógica aristotélica

Los temas presentados hasta este punto permiten utilizar los silogismos tanto con lenguaje cotidiano como con el matemático.

Revise el siguiente ejemplo que le permitirá comprender este punto.

Problemas que involucran los conjuntos

Los conjuntos son utilizados como un medio de clasificación en el cual se obtienen grupos de objetos (números o personas), con características específicas con las que se puede trabajar, esto hace que sea una gran ventaja el saber manipularlos.

Revise dos ejemplos que manejan dos situaciones problema en conjuntos.

Actividad de aprendizaje

Le invitamos a resolver el siguiente caso de estudio que le permitirá poner en práctica lo visto hasta el momento.

La lógica matemática aborda diferentes elementos como son las proposiciones, cuantificadores y conectores lógicos, temáticas que se explicaron con ejemplos matemáticos simples por su comportamiento e interpretación; para esto, se presentaron materiales de apoyo que tienen como fin la ejercitación de esta temática.

Posteriormente, vimos un contexto histórico acerca del álgebra booleana y cómo su creación se basó en la lógica proposicional que se había descrito anteriormente.

Adicionalmente, se presentaron las relaciones lógicas que se establecen entre proposiciones, la notación de los conjuntos y los aspectos que se deben manejar para avanzar en los temas propuestos en la unidad, dando paso a la explicación detallada de cada una de las operaciones entre conjuntos más utilizadas: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento, finalizando con la presentación de situaciones problema en las que el dominio de estas relaciones y la organización de la información se ponen a prueba.

Finalmente, se mostró la solución de ejercicios simples acerca de la aplicación de la lógica aristotélica y los conjuntos en contextos cotidianos y específicos del área en tratamiento.