En la unidad anterior se resolvieron problemas de programación lineal a través del método gráfico, y como se mencionó en dicha unidad, el método gráfico no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a 3 y más variables, haciendo que la representación gráfica del problema sea imposible por la gran complejidad que esto implicaría. En esta unidad se usará una técnica diferente pero mucho más acertada que el método gráfico, el Método Simplex, cuyo nombre está asociado a un objeto geométrico al que se denomina simplex.

El principio del método simplex es el siguiente: Todo comienza con una solución factible inicial y prueba si es o no, óptima. Si no lo es, el método continúa hasta encontrar una mejor solución. Se dice “mejor” en el sentido de que la nueva solución se acerca más a la optimización de la función objetivo. Si esta nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que esta existe en el problema que se esté analizando.

Para solucionar el tablero simplex (concepto que se presentará más adelante en esta unidad), se hace uso del método matemático para la solución de matrices conocido como Gauss-Jordán, que durante su desarrollo interactúa con reglas de decisión que determinan la variable que entra a base y cuál variable sale en el tablero del método simplex, las cuales se identifican como las variables básicas y no básicas. Los problemas dentro de su proceso de solución comienzan transformándose en la forma estándar donde al modelo se le añaden las variables de holgura en la función objetivo y las restricciones de signo S_T ≥0.

Material de apoyo

Objetivo general

Desarrollar competencias que le permitan al alumno definir, analizar y resolver mediante la aplicación del método simplex problemas de programación lineal cuyos resultados presenten soluciones óptimas, utilizando técnicas algebraicas y el uso del computador.

Objetivos específicos

• Establecer la formulación del modelo en la forma estándar para la aplicación del método simplex.
• Transformar el modelo a la forma canónica para problemas de maximización y/o minimización, introducir las variables de holgura.
• Identificar las variables básicas y no básicas para ingresar el modelo al tablero del método simplex.
• Interpretar y analizar en el tablero simplex en la fila de los (C_J- Z_J)cuál es la variable no básica más negativa que entra a la base para iniciar la solución de problemas de maximización y cuál es el coeficiente positivo menor para establecer la variable saliente en cada iteración realizada en el tablero de simplex, hasta alcanzar el óptimo.
• Plantear, formular y solucionar problemas de minimización de los recursos utilizados mediante método simplex, que le permitan al administrador la toma de decisiones con base a soluciones óptimas.

El método simplex establece una definición inicial en que interactúan un conjunto de restricciones de la forma ≥, = y ≤, donde todas las variables son no negativas o irrestrictas en el signo (es decir, positivas o negativas). En general, para minimizar una función es suficiente maximizar el negativo de la misma. Para comprender por qué considérese esta función.

Para transformar los problemas de programación lineal las restricciones se convierten en ecuaciones lineales a las que se le adiciona una variable que se denomina variable de holgura (H₁) para obtener por ejemplo: X + 3 Y + H₁ =20 donde H₁ ≥ 0.

A las variables H_n se les denomina variables de holgura, ya que asumen la holgura o falta de consistencia que existe en el lado izquierdo de las desigualdades. De esta manera, se convierten en igualdades. Los problemas de programación lineal transformados a forma estándar se resuelven para maximización o minimización. La maximización de una función objetivo equivale a multiplicar por menos uno (-1) la función objetivo transformándose en una minimización. Estudiemos el procedimiento algebraico para el desarrollo del método simplex.

A continuación se presenta un ejemplo de minimizar costos en una fábrica de cemento.

El primer paso del algoritmo simplex es el determinar las variables de entrada y de salida. Dado que simplex es un algoritmo, se hace énfasis en la atención que se debe tener al momento de seleccionar dichas variables ya que un error en este paso, hará que todo el resultado del método simplex esté errado.

Los procedimientos para seleccionar la variable que entra a la base del tablero simplex y la variable saliente de la base que son aplicables a problemas de maximización o minimización. La diferencia radica en que para problemas de maximización se establece la variable que entra a la base de seleccionar el (C_j-Z_j) denominado parámetro de optimización (ó costos reducidos) que es el mayor positivo. Caso contrario ocurre con los problemas de minimización donde la variable que entra a base del (C_j-Z_j) está dado por el valor mayor negativo de las variables actuales no básicas.

Material de apoyo

El método simplex es una herramienta útil para la toma de decisiones si esta se usa de manera adecuada. Pero en ocasiones resulta dispendioso realizar los cálculos manualmente, para lo cual se ha desarrollado software para facilitar y agilizar el cálculo de la solución óptima.

Es importante anotar que los software que se presentan a continuación son únicamente una herramienta, ya que estos no pueden hacer ni planteamiento del modelo ni el análisis del resultado, por lo que es necesario que el administrador tenga claro el concepto del método simplex y llegar a la conclusión acertada sin temor a equivocarse.

Esta es la mejor herramienta que existe para la solución de modelos matemáticos, ya que no solo soluciona problemas de programación lineal sino de programación entera, no lineal y modelos de transporte. Además de su fácil manejo, permite guardar y exportar los resultados a archivos pdf, Excel y Word, como se indica en su manual.

Su principal desventaja y tal vez sea motivo de que entre en desuso es que solo funciona en versiones de Windows XP y anteriores, por lo que para versiones superiores de Windows, se requiere la instalación de una máquina virtual de Windows XP.

Material de apoyo

En la actualidad es la aplicación más usada.

Su principal ventaja es su fácil adquisición y compatibilidad con cualquier versión de Windows y de MS Office.

Entre sus desventajas están que no es posible usarlo en sistemas operativos diferentes a Windows ni en hojas de cálculo diferentes a Excel. Además su manejo requiere de conocer ampliamente tanto el modelo como su comportamiento.

Material de apoyo

Esta es una aplicación en línea disponible para resolver problemas utilizando el método simplex.

Dentro de las ventajas de esta aplicación están:

• No necesita memoria en el computador, ya que la aplicación es online.
• Resuelve el problema en un corto tiempo.

Sus mayores desventajas son:

• Se hace indispensable el acceso a internet, ya que sin éste la aplicación no funciona.
• Como muchas aplicaciones online, no ejecuta fácilmente problemas con gran número de variables, siendo recomendables que la función objetivo del problema no tenga más de 5 variables ni más de 5 restricciones.

Las técnicas cuantitativas permiten formular y resolver problemas de programación lineal mediante el uso del método simplex, que está asociado a un polígono en la cual el punto extremo establece una solución óptima básica en la forma estándar, donde los valores de las variables de decisión presentan cantidades de recursos constituidos y por la función objetivo, las restricciones de recursos; cuya solución conduce un análisis de optimabilidad para problemas de maximización y minimización, en que se destacan las entradas de los costos reducidos (C_j - Z_j).

En los modelos matemáticos a los que se aplica métodos simplex en que el lado derecho de restricciones funcionales aumenta en una cantidad pequeña, nos llevan a decisiones administrativas conocidas como los precios sombra por aumentar el valor de función objetivo. Una herramienta que parte del análisis de los parámetros individuales del modelo para comprobar qué tan sensible es el método simplex como una solución óptima.

Actividad de aprendizaje

De acuerdo con todo lo estudiado en esta unidad, pon a prueba lo aprendido relacionando columnas.