La programación lineal es el procedimiento de tipo algorítmico matemático, mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Con dicho algoritmo se busca optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

La programación lineal tuvo su desarrollo a partir de 1947, cuando George Dantzig desarrollo el método simplex para solucionar mediante esta herramienta problemas de optimización, el cual es aplicado en diferentes empresas donde los recursos son escasos, y estos se asignan de la mejor manera, utilizando para ello modelos matemáticos que representan la problemática a resolver.

Las características de un modelo de programación lineal comienzan por la formulación del modelo en forma algebraica, donde se establecen sus variables de decisión, parámetros en que se fijan las cantidades, estimando la mejor asignación de recursos, de acuerdo con la meta o función objetivo que se quiere alcanzar para determinar el mejor desempeño y/o solución óptima entre los valores factibles de las variables.

Para profundizar aún más en el concepto de programación lineal, a continuación se encontrará la forma de plantear este tipo de modelo y varios ejemplos de refuerzo.

Objetivo general

Plantear, formular y diseñar modelos matemáticos de programación lineal, para resolver problemas mediante métodos gráficos de dos y tres variables, determinando soluciones óptimas aplicadas a las ciencias administrativas.

Objetivos específicos

• Definir e identificar la información de entrada en un modelo de programación lineal.
• Describir y clasificar los procesos que componen el sistema productivo el cual se va transformar.
• Planificar y evaluar los resultados que se quieren obtener en las salidas del problema de programación lineal.
• Deducir la formulación del método matemático considerando sus elementos como son las variables de decisión, función de objetivo y las restricciones.
• Resolver problemas de programación lineal mediante la técnica del método gráfico, con dos y tres variables determinando el tipo de solución óptima.
• Interpretar los resultados del problema mediante el análisis de sensibilidad.

Las entradas de un sistema son todos aquellos recursos iníciales con que debe contar toda organización, que son necesarios e indispensables para el desarrollo, operación, fabricación de materia y energía para lograr los objetivos propuestos al inicio de su operación.

Si un sistema no cuenta con las entradas necesarias ni suficientes para poner en marcha su operación, no puede obtener los resultados esperados. De ahí que el administrador sepa definir e identificar el momento y la cantidad adecuada de las entradas para pronosticar resultados óptimos para la organización.

Una vez tenemos disponibles las entradas en nuestro sistema, éstas tienen que ser manipuladas para que sean útiles para la organización. Esta manipulación es conocida como proceso.

Los procesos son todas aquellas operaciones que son de capaces transformar, modificar, distribuir y/o alterar los recursos materiales mediante el empleo del conocimiento y el capital para la fabricación o prestación de un servicio por parte de un sistema productivo.

Una vez procesados los recursos, podemos hablar de las salidas del sistema. Las salidas, son los resultados de procesos de fabricación del sistema industrial.

Para la formulación y/o planteamiento de un modelo de optimización es necesario recordar conceptos básicos que se expusieron durante el desarrollo de la unidad uno que son aplicables en todo modelo de programación lineal. Dichos conceptos son los siguientes:

1. Las variables de decisión que se trata de determinar.
2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar.
3. Las restricciones que se deben satisfacer.

Dado que el maestro se hace con la práctica, a continuación se presenta un ejemplo práctico sobre la formulación de un problema de programación lineal.

Los modelos matemáticos de programación lineal pueden tener cientos y hasta miles de variables con las cuales se debe encontrar la solución óptima de dicho problema, pero para comprender la dinámica de dicha solución, es necesario iniciar por el caso más sencillo de programación lineal, y es aquel modelo que considera dos variables, donde su solución se suele hallar mediante la técnica conocida como método gráfico.

Como su nombre lo indica, consiste en la solución de un modelo matemático de programación lineal mediante la gráfica de las restricciones del modelo y su función objetivo en el plano cartesiano, con el fin de hallar la región factible (aquella donde es más probable que se encuentre la solución óptima del problema) para así encontrar la o las soluciones del modelo. Como se ha expuesto, la programación lineal se soluciona mediante un algoritmo, por lo que el método grafico no será la excepción.

Hemos visto la solución de un modelo matemático de programación lineal con el método gráfico, donde se consideran las variables de decisión y los parámetros del modelo. Pero para realizar un análisis completo y real del problema es recomendable realizar análisis de sensibilidad a la solución encontrada.

El análisis de sensibilidad consiste en analizar los efectos de cambiar los parámetros del modelo en la solución del modelo. Estos cambios se pueden presentar en los coeficientes de la función objetivo o cambios en el lado derecho de las restricciones.

Para comprender esto, se realizará dicho análisis como continuación del caso de estudio anterior, observando primero los efectos cuando cambian los parámetros de la función objetivo, y luego cuando cambian las restricciones.

Actividad de aprendizaje

Resuelve el siguiente crucigrama con base en todo lo estudiado sobre programación lineal.

Los problemas de programación lineal se pueden resolver el método gráfico o geométrico por la representación de dos y tres variables en el primer cuadrante de un plano cartesiano, en el cual se registra un polígono que recibe el nombre de región factible, en la cual se selecciona el punto extremo más alejado al origen del plano cartesiano con mayor valor positivo, donde se localiza la solución óptima para un problema de maximización y, el punto de región factible más próximo al origen con el menor valor positivo, se localiza la solución de una minimización.

Del punto de solución surge el concepto de restricciones activas que son identificadas por aquellas ecuaciones lineales que conforman las restricciones que pasan por el punto de vértice donde está la solución óptima.

En esta unidad se trató el tema de análisis de sensibilidad, el cual consiste en la modificación de modelo matemático original, realizando cambios en los valores de dicho modelo, para luego analizar como los cambios producidos pueden llegar a alterar la solución óptima del modelo de programación lineal.