En las organizaciones empresariales que se dedican a la producción de bienes y servicios, el administrador se enfrenta a la asignación de los diferentes recursos que las conducen, al uso de técnicas matemáticas en que la toma decisiones está orientada a resolver los diversos problemas operacionales mediante el uso y diseño de Modelos matemáticos, los cuales presentan soluciones eficientes, que se desarrollan en diversos escenarios dando origen a una gran variedad de problemas en el campo de administración y las ciencias económicas.

Se orienta a desarrollar al estudiante competencias y habilidades dentro del marco de su aprendizaje de modelamiento con la asignación de recursos con mínimo costo, problemas de índole económico donde su objeto es obtener el máximo beneficio y problemas, donde en cada caso de aplicación se cuentan con diferentes restricciones y/o limitaciones en uso de los recursos, disponibilidad del capital, de la demanda de insumos y bienes, etc.

Los modelos suelen desempeñar diferentes papeles en distintos niveles de la empresa. A medida que se desciende en los modelos de una organización, las alternativas y los objetivos pueden volverse más claros, y se hace cada vez más fácil especificar cuantitativamente las interacciones, con frecuencia los datos precisos son más accesibles, y el ambiente futuro implica menos incertidumbre.

Frecuentemente, se realizan estudios de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se pueden maximizar o minimizar los recursos.

Material de apoyo

Objetivo general

Desarrollar conocimientos en el estudiante para la construcción de modelos matemáticos de programación lineal que lo capaciten para la solución de problemas, creando competencias que permitan desarrollar el aprendizaje y el conocimiento de la programación lineal y modelamiento, planificando y logrando resultados eficientes para el tomador de decisiones.

Objetivos específicos

• A partir de una realidad, plantear en un lenguaje algorítmico los diferentes problemas a resolver en el campo de los modelos matemáticos.
• Clasificar los tipos de modelos matemáticos que existen.
• Definir los elementos de un modelo matemático.
• Introducir el concepto de programación lineal, sus entradas, procesos y salidas que permita realizar la formulación de un modelo matemático de programación lineal.
• Aplicar conocimientos y competencias para la solución de modelos matemáticos de programación lineal con dos variables mediante solución gráfica.
• Reconocer, analizar e identificar los diferentes tipos de soluciones en un modelo matemático.

Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático. Un modelo es la representación de un sistema, entendiendo sistema como el conjunto de elementos organizados, que interactúan entre sí, con el fin de lograr y alcanzar un objetivo planteado. Los diferentes sistemas operacionales se pueden representar como un modelo de programación lineal, un método eficiente para determinar una decisión, estrategia o plan óptimo de un gran número de decisiones posibles con el objetivo de maximizar o minimizar alguna cantidad en los problemas de Programación Lineal.

Los administradores desempeñan un papel importante durante la abstracción, la formulación del modelo, la interpretación y, más tarde, la ejecución de las decisiones. El número de formas en que los modelos se utilizan es tan abundante como el de las personas que los construyen. Todos estos modelos ofrecen una opción para realizar un análisis de la situación observada de una forma lógica y congruente.

El proceso para la construcción de un modelo matemático tiene las siguientes etapas:

De aquí se puede concluir que un modelo es una herramienta confiable para la evaluación y comunicación de diferentes objetivos organizacionales. Además, con los modelos es posible ajustar y mejorar el desempeño organizacional en forma explícita, de acuerdo con la experiencia histórica, lo cual constituye una forma de aprendizaje adaptativo.

Existen tantas formas de clasificar los modelos que se puede decir que cada autor los clasifica según su campo de acción. El modelo representa una idealización en la que el administrador formula o reformula un problema real, el cual se clasifica teniendo en cuenta el tipo de información y sus interrelaciones; las cuales se ejecutan en términos de símbolos, expresiones matemáticas y sistemas de ecuaciones que describen la esencia del problema real.

En este caso se presenta la clasificación más usada en el campo de la administración de empresas:

• Modelo simbólico
• Modelo de decisión
• Modelo analógico
• Modelo físico

Es muy importante que antes de realizar la formulación del modelo de un problema. Se identifiquen los tipos de modelos que existen, ya que no todos se van a poder expresar de forma numérica. Es de anotar que la mayoría de modelos son dinámicos, es decir, si uno de sus elementos cambia, el resultado esperado en el modelo también cambia.

La aplicación de la programación lineal se usa para resolver diversos problemas de las ciencias administrativas, en donde se considera etapas como: levantamiento de la información, identificación de la situación problema, diseño de las diferentes variables, construcción del modelo matemático, solución del problema matemático mediante la aplicación de técnicas cuantitativas, validación del modelo y su puesta en marcha, con el fin de solucionar dichos problemas.

Todo modelo debe dar respuesta a una serie de preguntas dependiendo del campo de acción en el que se desempeñe la empresa. En estas preguntas se mencionan términos como variable de decisión, parámetros y objetivo los cuales son algunos de los componentes básicos que se deben tener en cuenta al momento de la construcción de un modelo.

Un modelo no está completo si alguno de sus componentes no está presente en él y hará que su solución sea mucho mas complicada y que los resultados obtenidos no sean confiables. Por eso es importante comprender cada uno de estos.

Actividad de aprendizaje

Diviértete, encuentra y repasa los conceptos fundamentales estudiados hasta este punto en la siguiente sopa de letras.

Son varios los casos en que el uso de los modelos matemáticos no es solo necesario, sino que son indispensables para permitir una toma de decisiones correcta. Es por esto que en distintas ramas de las organizaciones hacen uso de los mismos y de ahí la importancia de identificarlos.

Entre los tipos de problemas que se pueden formular se encuentran:

• Modelo de la dieta.
• Modelo de financiero.
• Modelo de mezcla.
• Modelo de programación de la producción.

Objetivo

Determinar una dieta óptima con costo mínimo.

Variable de decisión

X_j: Cantidad en peso, volúmen o porciones de alimento tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m

Función objetivo

Función costo: f(costo)=(x₁,x₂,x₃,x₄,...x_n)

Parámetros

• Cj: Costo de compra por peso, volumen o porción de alimento tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• a_ij: Contenido de nutrientes tipo “i” contenido en la unidad de peso, volumen o porción del alimento tipo “j”; i =1, 2, 3,…, n ∧ j = 1, 2, 3,…, m
• b_i: Cantidad total de nutriente tipo “i” requerido por unidad de tiempo; i = 1, 2, 3,…, n
• D_j: Disponibilidad de unidades de peso, volumen o porción del alimento tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m

A continuación se presenta un ejemplo de este modelo de dieta.

Objetivo

Determinar una mezcla optima de insumos con máximo de ingreso, utilidad, o volumen de producción o mínimo costo.

Función objetivo

Depende del criterio y el tipo de función seleccionada como objetivo por el decisor y el sistema en análisis.

Variable de decisión

X_ij: Cantidad o proporción de insumo tipo “i” expresado en unidades como peso o volumen usado en la mezcla para realizar el producto tipo “j”; i =1, 2, 3,…, n ∧ j = 1, 2, 3,…, m

Parmámetros

• C_i: Costo de compra por unidad de peso o volumen del insumo tipo “i”; “= 1, 2, 3,…, n
• P_vj: Precio de venta al público por unidad del producto o mezcla resultante tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• a_ij: Contenido o proporción de insumos tipo “i” requeridos para elaborar el producto o mezcla deseada tipo “j” sobre el total de la mezcla u otro componente; i =1, 2, 3,…, n ∧ j = 1, 2, 3,…, m
• O_i: Cantidad disponible de insumo tipo “i”; i = 1, 2, 3,…, n
• D_j: Demanda mínima de los productos tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• E_ij: Especificación de contenido del insumo tipo “i” en cada uno de los productos tipo “j”; i =1, 2, 3,…, n ∧ j = 1, 2, 3,…, m

A continuación se presenta un ejemplo del modelo de mezcla.

Objetivo

Determinar un plan de inversión determinando la cantidad de dinero a invertir en un tipo de inversión fija con máxima rentabilidad.

Función Objetivo

Función rentabilidad: f(rentabilidad) = (x₁,x₂,x₃,x₄,...x_n)

Variable de Decisión

X_j: Cantidad de dinero a invertir en cada inversión tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m

Parámetros

• R_j: Rentabilidad de cada inversión tipo “j”; por unidad de tiempo; j = 1, 2, 3,…, m
• b_j: Cantidad máxima de capital disponible a asignar por inversión (es) tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• P: Disponibilidad total de capital a asignar para todas las inversiones a realizar.

A continuación se presenta un ejemplo del modelo financiero.

Objetivo

Determinar un plan de producción con máximo ingreso, utilidad, o volumen de producción o mínimo costo u ocio productivo.

Función objetivo:

Depende del criterio y el tipo de función seleccionada como objetivo por el decisor y el sistema en análisis.

Variable de decisión

X_j: Cantidad a fabricar del artículo tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m

Parámetros

• C_j: Costo de fabricación por unidad del artículo tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• Pv_j: Precio de venta al público por unidad del artículo tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• a_ij: Consumo de recurso tipo “i” requerido para la fabricación por unidad del artículo tipo “j”; i =1, 2, 3,…, n ∧ j = 1, 2, 3,…, m
• Cd_i: Capacidad disponible del recurso tipo “i”; i = 1, 2, 3,…, n
• Dmax_j: Demanda máxima de artículos tipo “j”; j = 1, 2, 3,…, m
• Dmin_j: Demanda mínima de artículos tipo “j”; j = 1, 2,3,…, m

A continuación se presenta un ejemplo del modelo de producción.

Esta unidad está orientada a las aplicaciones de los modelos matemáticos donde se obtienen soluciones a problemas en el campo de las ciencias administrativas, económicas y operacionales; que permiten a los administradores contar con una herramienta eficiente que le suministra soluciones óptimas para la toma de decisiones.

El modelo matemático tiene una estructura compuesta por variables de decisión y parámetros, restricciones y la función objetivo, la cual se maximiza o minimiza dependiendo del tipo de aplicación.

Se tienen distintivos modelos matemáticos de acuerdo al tipo de problemas como son: mezclas, dietas, inversiones y de producción. Este tipo de formulación en modelamiento matemático ayuda a generar habilidades y competencias al administrativo en la toma de decisiones.

Actividad de aprendizaje

Relaciona concepto y significado en la siguiente actividad y pon a prueba lo estudiado en esta unidad.