Muchas preguntas en diferentes campos y ciencias se reducen a resolver sistemas lineales de ecuaciones. El interés por resolverlos es muy antiguo. Observe el siguiente ejercicio:

"Tres hombres poseen una sola pila de monedas y sus partes son: ½, 1/3 y 1/6.

Cada uno toma algo de dinero de la pila hasta que no queda nada. El primero regresa ½ de los que tomó, el segundo 1/3 y el tercero 1/6.

Cuando el total reintegrado se divide por igual entre los tres, se descubre que cada uno posee lo que le corresponde. ¿Cuánto dinero había en la pila original y cuánto tomó cada uno de esa pila?"1

Un problema conocido donde interviene un sistema lineal, del que se ocuparon los matemáticos hace ochocientos años. La solución fue presentada por Fibonnacci, quien encontró que la cantidad total de la pila de monedas tomada por los tres hombres fue de 47 y las respectivas cantidades tomadas fueron 33, 13 y 1.

Toda ecuación es una igualdad, donde el término de la derecha es igual al término de la izquierda; en un sistema de ecuaciones intervienen varias ecuaciones y varias incógnitas.

Para explicar lo anterior, en la unidad se presentan los sistemas de ecuaciones; nociones generales; representación matricial y los métodos de solución de sistemas de ecuaciones.

Objetivo general

Plantear y aplicar la representación matricial en la solución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, así como utilizar los métodos de solución de sistemas de ecuaciones.

Objetivos específicos

• Interpretar la representación gráfica de sistemas de ecuaciones.

• Aplicar sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas con el método de eliminación de Gauss.

• Analizar los procedimientos con que se obtienen los conjuntos de solución para sistemas de ecuaciones.

Toda ecuación es una igualdad donde el término de la derecha es igual al término de la izquierda; en un sistema de ecuaciones intervienen varias ecuaciones y varias incógnitas.

Existen varias clases de sistemas de ecuaciones:

• Sistema lineal: toda ecuación del sistema es una función algebraica cuyo máximo exponente es 1.

• Sistema homogéneo: todas las ecuaciones se igualan a cero.

• Sistema no lineal: alguna de las ecuaciones del sistema presentan un grado mayor de 1.

Es necesario identificar qué tipo de sistema de ecuaciones son las que se van a trabajar; para tal efecto, se deben identificar los tipos o clases de ecuaciones que conforman dicho sistema: ecuación lineal homogénea y ecuación lineal no homogénea:

• Ecuación lineal

• Sistema lineal de ecuaciones

• Sistema lineal no homogéneo

Considere el sistema de ecuaciones lineales:

Esto es m ecuaciones con n incógnitas, su representación matricial aumentada corresponde:

O también aplicando la forma A∙X = B

Para ampliar la representación matricial, por favor revise los siguientes ejemplos.

Para el estudio de métodos numéricos, es indispensable el conocimiento y manejo del álgebra lineal, ya que es la base en la solución de la gran mayoría de problemas que cotidianamente se presentan.

Los programas que se utilizan para resolver métodos numéricos son Matlab o Excel; los cuales se basan en operación de matrices y vectores, siendo ésta otra de las razones para incluir el álgebra lineal en métodos numéricos.

El objetivo principal de los métodos de solución, es comprender la parte básica del álgebra lineal como lo es la teoría de matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante varios métodos:

• Método de Gauss - Jordan.
• Método de Cramer.
• Método gráfico de resolución de sistemas. (Ver video)

Para conocer el proceso de la Solución de un sistema por Gauss-Jordan, haga clic aquí.

Toda ecuación es una igualdad donde el término de la derecha es igual al término de la izquierda; en un sistema de ecuaciones intervienen varias ecuaciones y varias incógnitas.

Existen dos (2) tipos de sistemas de ecuaciones: ecuación lineal homogénea y ecuación lineal no homogénea. Las anteriores, se pueden resolver por matrices y a través de diferentes métodos:

• Método de Gauss-Jordan o el método de reducción de Gauss: es una metodología para resolver sistemas lineales de ecuaciones con n variables, la idea es escribir el sistema en matrices y sus inversas.

• Método de Cramer, denominado también por determinantes: es una regla que se aplica bajo las siguientes condiciones: el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

• Método gráfico: para 2 ecuaciones y dos incógnitas, consiste, en representar en un plano cartesiano ambas rectas y comprobar si se cortan o no.