Comprender las aplicaciones de la derivada puede convertirse en una tarea difícil y tediosa si no se interiorizan de manera adecuada algunos conceptos básicos. Es por esta razón que en esta unidad se estudiarán las aplicaciones de la derivada en el trazado de curvas y en la optimización de funciones, lo cual requiere en la mayoría de los casos el cálculo de los máximos y mínimos de una función.

Al conocer los máximos y mínimos de un función sujeta a determinadas condiciones se hace posible optimizar la función, por lo cual resulta importante identificarla con claridad desde el principio.

Si una función tiene extremos máximos o mínimos relativos, estos se localizan en aquellos puntos donde f'(x) no está definida o en un punto crítico que se determina igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación.

Sin embargo, una función no necesariamente tiene un extremo relativo en todos sus valores críticos, pues algunos de estos puntos críticos pueden ser puntos de inflexión. Por lo anterior, antes de hacer los cálculos que se platean en esta unidad se debe prestar mucha atención y aplicar un criterio que permita decidir de manera clara qué valores críticos son máximos o mínimos.

Objetivo general

Adquirir los conocimientos básicos que permitan aplicar la derivada en la solución de problemas prácticos.

Objetivos específicos

• Adquirir habilidad en el trazado de gráficas aplicando la derivada.
• Interpretar el concepto de derivada de forma analítica y geométrica.
• Aplicar el concepto de derivada en la identificación de funciones crecientes y decrecientes.
• Aplicar el concepto de derivada para maximizar y minimizar funciones.
• Adquirir destrezas que permitan plantear y solucionar problemas aplicado la derivada.

Los puntos que son más altos o más bajos que otros puntos cercanos, pero que no llegan a ser los más altos o más bajos de una curva se llaman puntos máximos relativos y puntos mínimos relativos, respectivamente. Así mismo, se define máximo absoluto en un intervalo al punto más alto de dicho intervalo, mientras que el mínimo absoluto en un intervalo es el punto más bajo de la curva en dicho intervalo.

Estos puntos suelen ser las características más utilizadas al momento de trazar una curva, pero existen otros como los puntos de inflexión, que son aquellos donde la curva cambia su concavidad, y los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo o donde la gráfica crece o decrece.

Es importante recordar que los puntos críticos no pueden ser extremos absolutos, pero para saber qué son los puntos críticos es necesario continuar con el estudio de esta unidad.

Conocer algunos puntos de una gráfica no permite determinar su comportamiento. Es por esta razón que para analizar la gráfica de una función se debe estudiar la aplicación de la derivada, la cual permite determinar con claridad el comportamiento y la forma que adquiere la gráfica.

Es así que inicia el estudio de gráficas mediante la observación de la variable x en un intervalo y su respectiva comparación con los valores que toma f(x) para determinar si la gráfica crece o decrece. Lo anterior es posible gracias a que en matemáticas existe un criterio que permite afirmar si la función crece o decrece en un intervalo determinado.

En este contexto surge el concepto de los puntos críticos, que será utilizado en la mayor parte de esta unidad, y el cual se explicará y ejemplificará antes de abordar las aplicaciones formales.

Haga clic sobre el enlace para ver algunos ejercicios de cálculo de puntos críticos.

Material de apoyo

Muchas aplicaciones de las derivadas involucran el uso de los máximos y mínimos de una función. Por este motivo resulta indispensable diferenciar estos dos tipos de valores: los máximos y los mínimos. En los siguientes enlaces se exponen de manera detallada los teoremas que explican estos conceptos:

• Teorema de máximos y mínimos.
• Teorema de los valores extremos.
• Teorema de Fermat.

Un teorema que se expone sin demostración es de gran valor en la teoría de extremos absolutos de una función; no obstante, este tipo de teoremas tienen una fácil interpretación geométrica y requieren conceptos de cálculo avanzado para su demostración.

Por lo general, toda función continua en un intervalo cuenta con un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Para calcularlos, se pueden evaluar los valores críticos en la función y observar cuál de ellos es el mayor y cuál, el menor.

En el siguiente enlace se muestra un procedimiento para buscar los extremos absolutos de f(x) en [a, b] y su respectivo ejemplo. Haga clic sobre el enlace para acceder al contenido.

Actividad de aprendizaje

Realice la siguiente actividad con el fin de practicar los conocimientos adquiridos sobre los teoremas que permiten calcular máximos y mínimos.

Material de apoyo

A partir de los teoremas vistos en la pantalla anterior, a continuación se explicará la forma de determinar los extremos absolutos de una función continua f(x) en un intervalo [a, b].

En este caso se tiene un intervalo y una función continua, por lo que el teorema de valores extremos permitirá calcular los extremos absolutos. De acuerdo con lo estudiado hasta este punto, el extremo absoluto puede ocurrir en los extremos o en extremos relativos; de igual manera, por el teorema de Fermat, se sabe que la lista de los puntos críticos es también una lista de todos los posibles extremos relativos, así que los criterios de valoración y la lista de todos los puntos críticos serán, de hecho, una lista de todos los posibles extremos absolutos.

Si se tiene en cuenta que los extremos absolutos no son más que los valores máximo y mínimo de una función, lo único que se debe hacer es conseguir una lista de posibles extremos absolutos, para lo cual se debe utilizar el procedimiento para buscar extremos absolutos que se expuso previamente.

Haga clic sobre el enlace para ver tres ejemplos en los que se demuestra la aplicación de este procedimiento.

Actividad de aprendizaje

Para repasar lo aprendido, resuelva el siguiente ejercicio.

Previamente se estudió cómo utilizar la derivada para determinar el mínimo y el máximo de una función; sin embargo, existe mucha más información acerca de un gráfico que se puede determinar a partir de la primera derivada de una función.

Es por esto que en adelante se buscará identificar todos los extremos relativos de una función y para lograrlo se debe definir cuándo esta es creciente o decreciente.

Recuerde que si la derivada de una función es positiva en un punto, entonces la función está aumentando; si la derivada es negativa en un punto, la función está disminuyendo, y si la derivada es igual a cero, la función no cambia en ese punto. Esta afirmación se comprueba mediante el siguiente teorema.

Después de obtener los intervalos cuando la función es creciente o decreciente, se puede obtener un bosquejo de la gráfica. Este bosquejo puede que no precise muy bien la curvatura de la gráfica, pero por lo menos tendrá su forma básica. Para obtener la información que permita definir la curvatura exacta de la gráfica es necesario efectuar el siguiente proceso. Haga clic aquí para acceder al contenido.

Hasta este punto se expuso cómo usar la primera derivada de una función para obtener información de la gráfica de dicha función, mientras que en esta sección se revisará la información que la segunda derivada de una función puede ofrecer sobre su gráfica.

Para tal fin, resulta necesario conocer con antelación varias definiciones que le darán sentido a los conceptos que se expondrán; uno de ellos es la concavidad, que es el concepto principal que se abordará en lo que queda de esta unidad, y el otro es el punto de inflexión.

Observe el video de la derecha para ver la definición semántica de estos dos conceptos y haga clic sobre este enlace para observar su definición matemática.

Una vez comprendido el concepto de concavidad, se hace necesario entender el teorema que relaciona la concavidad con la segunda derivada de la función.

Haga clic sobre el enlace para ver un ejemplo de aplicación de este teorema.

Existe una forma de clasificar algunos de los puntos críticos de una función como máximos relativos o mínimos relativos, diferente a la usada en la pantalla anterior. En este contexto, el tercer punto del criterio de la segunda derivada es importante, pues si la segunda derivada es igual a cero, entonces el punto crítico puede ser cualquiera. Haga clic sobre el enlace para ver la representación gráfica de esta afirmación.

Para terminar de entender cómo se grafican todos los puntos de la gráfica de una función, se sugiere analizar el ejemplo que encontrará haciendo clic aquí.

Actividad de aprendizaje

Para comprobar la interiorización de los conceptos estudiados, se sugiere el desarrollo del siguiente ejercicio.

Por medio de los procedimientos estudiados para maximizar y minimizar funciones es posible solucionar problemas geométricos, económicos o de otras disciplinas, que requieren de la optimización, por ejemplo, es posible minimizar los costos de una empresa o maximizar sus utilidades.

En estos procedimientos, lo realmente importante es expresar la variable a optimizar en términos de la variable independiente. Para este propósito se pueden utilizar la primera y segunda derivada, esperando que el valor crítico encontrado represente la solución al problema planteado.

En tal contexto, se espera que sean los extremos absolutos los que establezcan la solución del problema, por lo tanto será necesario evaluar la función en estos valores extremos.

En esta última sección se presentan algunas de las aplicaciones de las derivadas en el mundo de los negocios. La mayoría de ellas ya se han resuelto con anterioridad, pero en este caso se desarrollarán en contextos reales. Haga clic sobre el enlace para acceder a los ejemplos.

Material de apoyo

Los conceptos de primera y segunda derivada, máximos y mínimos, intervalos de monotonía y concavidad, son de gran ayuda al momento de bosquejar la gráfica de una función.

En tal sentido, durante esta unidad se mostró que la primera derivada se usa para encontrar los puntos críticos y los intervalos donde f crece o decrece, mientras que la segunda derivada se usa para determinar los puntos de inflexión, los intervalos de monotonía y decidir si los puntos críticos son máximos o mínimos relativos.

Tras el estudio de esta unidad se espera que el estudiante cuente con habilidades para plantear y solucionar problemas de optimización; tenga claro el concepto de extremo de una función, y sepa trazar la gráfica de una función.